含Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分边界条件的二阶微分方程2个正解的存在性

含Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分边界条件的 二阶微

分方程2个正解的存在性

游佳莹, 叶国菊*, 刘 尉, 赵大方

【摘 要】摘要:利用Avery-Henderson不动点定理,研究含Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分边界条件的二阶微分方程2个正解的存在性.最后通过实例说明该结果的广泛性.

【期刊名称】四川师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2024(042)002 【总页数】7

【关键词】关键词:Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分; Avery-Henderson不动点定理; 正解

基金项目:中央高校基本科研业务费专项资金(2017B19714和2017B07414)

0 引言

带有积分边界条件的微分方程是从物理、化学等自然科学中提出的数学模型,它可以准确地描述热传导、化学工程、地下水流和等离子物理等领域中的重要现象,这些领域中许多问题的讨论可以归结为对带有积分边界条件的微分方程的研究.近年来,带有积分边界条件的微分方程的解的存在性得到了广泛而深入的研究,取得了许多好的结果[1-7].文献[3]利用上下解方法证明了含Henstock-Kurzweil积分边界条件的二阶微分方程

的解的存在性,其中f(t,x(t))和hi(t,x(t))(i=1,2)是Henstock-Kurzweil可积的,k1、k2是非负常数.文献[6]利用Avery-Henderson不动点定理研究含积分边界条件的二阶微分方程

的正解的存在性,其中f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)),h,g0∈C([0,1],[0,+∞)),α≥0. 本文考虑如下含Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分边界条件的二阶微分方程 (1)

Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分是一种更广泛的积分,包含了Henstock-Kurzweil积分[8-9]、分布Henstock-Kurzweil积分[10-12]、Riemann-Stieltjes积分和Lebesgue-Stieltjes积分.现有文献对含Henstock-Kurzweil-Stieltjes积分边界条件的研究尚不多见.本文主要利用Avery-Henderson不动点定理证明积分边值问题(1)2个正解的存在性.记[0,1]上全体正则函数(见定义1)构成的空间为G[0,1]和[0,1]全体有界变差函数(见定义2)构成的空间为BV[0,1].假设积分边值问题(1)中f和g满足以下条件： (H1) 对任意的t∈[0,1],u∈C[0,1]∩BV[0,1],f(t,u)≥0；

(H2) 对任意的u∈C[0,1]∩BV[0,1],f(t,u)关于t是Henstock-Kurzweil可积的； (H3) 对任意的t∈[0,1],f(t,u)关于u是连续的;

(H4) 存在Henstock-Kurzweil可积函数f1和f2,使得对任意的u∈C[0,1]∩BV[0,1],有 f1(t)≤f(t,u)≤f2(t)；

(H5) g∈G[0,1],且对任意的t∈(0,1],存在常数0<β0<γ0<1,使得β0

定理 1 设条件(H1)～(H5)成立,且存在正数a、b、c满足使得: (2) (3)

和 (4)

则积分边值问题(1)至少有2个正解.

1 预备知识

定义 1[13] 设f(t)在[a,b]上有定义,若f(t)在[a,b]上的每一点处的左右极限 存在,且约定f(a-)=f(a),f(b+)=f(b),则称f(t)在[a,b]为正则函数.记[a,b]上全体正则函数构成的空间为G[a,b].

定义 2[14] 设f:[a,b]→R,在[a,b]上取一组分点a=t0

有界,就称f是[a,b]上的有界变差函数.记[a,b]上全体有界变差函数构成的空间为BV[a,b].

设δ(t)>0为区间[a,b]上给出的正值函数,所谓在[a,b]上的划分D是δ-精细的,是指对D的有序分点a=t0

ξi=ti-1?i=1, ξi=ti?i=m.

对给定函数f,g:[a,b]→R及δ-精细划分D,定义 f(ξi-1))g(ti-1), 其中,ξ0=a,ξm=b.

定义 3[15] 设f,g:[a,b]→R.若对任给的ε>0,存在函数δ(t)>0,使得对任意的δ-精细划分D,有

|J-KD(f,g)|<ε,

则称J∈R是f在[a,b]上关于g的Henstock-Kurzweil-Stieltjes(HKS)积分,并记作

J=f(t)dg(t)=fdg.

在定义3中,若取函数g(t)=t,则称该积分为Henstock-Kurzweil积分,简记HK积分.

引理 1[9] 若下列条件成立:

(i) fn(t)(n=1,2,)在[a,b]上HK-可积,且fn(t)→f(t),a.e.,t∈[a,b];

(ii) f1、f2在[a,b]上HK-可积,且对每一个n都有f1(t)≤fn(t)≤f2(t),a.e.,t∈[a,b],则f(t)在[a,b]上HK-可积,且

2 辅助引理

引理 2 若条件(H1)～(H5)成立,则积分边值问题(1)等价于积分方程 u(t)=K(t,s)f(s,u(s))ds+ 其中 (5)

证明 对u″(t)=-f(t,u(t))从0到t积分得 u′(t)=u′(0)-f(s,u(s))ds. 由u′(0)=0得 u′(t)=-f(s,u(s))ds. (6)

(6)式两边从0到t积分得

u(t)=u(0)-(t-s)f(s,u(s))ds. (7)

令t=1,由边界条件得

u(0)=u(s)dg(s)+(1-s)f(s,u(s))ds, 代入(7)式得

u(t)=u(s)dg(s)+(1-s)f(s,u(s))ds- (t-s)f(s,u(s))ds=(1-t)f(s,u(s))ds+ (1-s)f(s,u(s))ds+u(s)dg(s)= K(t,s)f(s,u(s))ds+u(s)dg(s). (8)

由(8)式可得

(g(1)-g(0))u(s)dg(s), 所以有 代入(8)式得 u(t)=K(t,s)f(s)ds+ (9)

另一方面,对(9)式两边求导即可得(1)式.证毕.

显而易见,由(5)式确定的K(t,s)满足0≤K(t,s)≤K(s,s),(t,s)∈[0,1]×[0,1]. 进一步,对于当0≤s≤t≤1时, 当0≤t≤s≤1时, 所以对于任意的有