§10.3 二项式定理
1．二项式定理
二项式定理二项展开式的通项公式二项式系数
n，C1n，…，Cn二项展开式中各项的系数C0
nan＋C1nan－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnbn(n∈N*)(a＋b)n＝C0kan－kbk，它表示第k＋1项Tk＋1＝Cn2.二项式系数的性质
n＝1，Cn＝1，Cn＋n1＋Cmn.m1＝Cm－(1)C0
n＝Cn－nm(0≤m≤n)．Cm
(2)二项式系数先增后减中间项最大．
nnn＋1n＋32当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn，当n为奇数时，第项和第222
项的二项式系数最大，最大值为Cn?12n或
Cn?12n.
n＋C1n＋C2n＋…＋Cn＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.(3)各二项式系数和：C0
概念方法微思考
1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示 (a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．
2．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
kan－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．( × )(1)Cn
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( √ )题组二 教材改编
2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )A．80 B．40 C．20 D．10答案 B
5·22＝40.k(2x)k＝C5k2kxk，当k＝2时，x2的系数为C2解析 Tk＋1＝C5
3．若x＋
A．10 B．20 C．30 D．120答案 B
解析 二项式系数之和
2n＝64，所以
k·x6－k·n＝6，Tk＋1＝C6
()x
1
n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
6＝20.即当k＝3时为常数项，T4＝C3
()x
1
kx6－2k，当k＝C66－2k＝0，
4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )A．9 B．8 C．7 D．6答案 B
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.题组三 易错自纠
5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
n A．Cmn1 C．Cm－
n1B．Cm＋
n1D．(－1)m－1Cm－
答案 D
解析 (x－y)n二项展开式第m项的通项为
n1(－y)m－1xn－m＋1，Tm＝Cm－
n1(－1)m－1.所以系数为Cm－
6．已知
A．1 B．±1 C．2 D．±2答案 C
(ax＋
3x)n(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
解析 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，则
k(x)5－k·二项式的展开式通项为Tk＋1＝C5
常数项为5a3，根据题意，有C35a3＝80，可得C3
()3
a
x15-5k
kx6k＝akC5
15－5k
，令＝0，得k＝3，则其
6
a＝2.
7．在2x2－________．答案 1
()x1x
1
n
的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为
解析 因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.在2x2－
()5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
多项展开式的特定项
命题点1 二项展开式问题例1 (1)(2024·山东模拟)－x
xA．－210 C．120 答案 B
解析 由二项展开式，知其通项为令2k－10＝4，解得k＝7.
7＝－120.所以x4的系数为(－1)7C10
kTk＋1＝C10
()1
10的展开式中x4的系数是( )
B．－120D．210
()x
1
kx2k－10，10－k(－x)k＝(－1)kC10
(2)(2024·浙江)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案 162 5
k(2)9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以解析 该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C9
常数项为(2)9＝162；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
命题点2 两个多项式积的展开式问题
例2 (1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )A．12 B．16 C．20 D．24
答案 A
4＋2C解析 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＝4＋8＝12.1
(2)1＋
A．15 B．20 C．30 D．35答案 C
解析 因为(1＋x)6的通项为
kxk，C6所以
()x2
1
(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
6×5
6＋C46＝2C26＝2×因为C2＝30，
2×1所以1＋故选C.
()1＋x2
11
(1＋x)6的展开式中含
x2的项为
6x2和1·C2
x2
6x4.·C4
()x2
1
(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
命题点3 三项展开式问题
例3 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 C．30 答案 C
解析 方法一 利用二项展开式的通项求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
5(x2＋x)3·y2.含y2的项为T3＝C2
3x4·x＝C13x5.其中(x2＋x)3中含x5的项为C1
5C13＝30.故选C.所以x5y2的系数为C2
B．20D．60
方法二 利用排列组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个
5C23C1＝30.故选C.取x即可，所以x5y2的系数为C2
(2)(2024·合肥检测)x－＋15展开式中的常数项为( )
xA．1 B．11 C．－19 D．51答案 B解析 x－＋1
x
(1
)(1
)[()]5＝
1x
x－
＋1
5
展开式的通项为
kTk＋1＝C5
当k＝5时，常数项为C5＝1，
()x－x
1
5－k
2C35＝－20，当k＝3时，常数项为－C15C24＝30.当k＝1时，常数项为C4
综上所述，常数项为1－20＋30＝11.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
跟踪训练1 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )A．－3 B．－2 C．1 D．4答案 B
4(－kx4－k(－1)k，解析 (x－1)4的通项为Tk＋1＝C4(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C34(－1)2＋C14(－1)＝－2，故选B.1)3＋C2
(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
1答案
2
kx10－kak，令10－k＝7，解析 通项为Tk＋1＝C10
3a3＝15，∴k＝3，∴x7项的系数为C10
1∴a3＝
1
，∴a＝.82
(3)(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________．答案 92
5(1＋2x)5＋C15(1＋2x)4(－3x2)＋C25(1＋解析 方法一 (1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C0
2x)3(－3x2)2＋…＋C5(－3x2)5，
5C525＋C15C34×23×(－3)＋C25C13×2×(－3)2＝92.所以x5的系数为C0
5C535＋C15(－1)C4534＋C25(－方法二 (1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为C0533＋C35(－1)3C2532＋C45(－1)4C1531＋C5(－1)5C0530＝92.1)2C3
二项式系数的和与各项系数的和问题
命题点1 二项式系数和与系数和
2024新高考版大一轮复习用书数学第十章 10.3
