§10.3 二项式定理
1.二项式定理
二项式定理二项展开式的通项公式二项式系数
n,C1n,…,Cn二项展开式中各项的系数C0
nan+C1nan-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnbn(n∈N*)(a+b)n=C0kan-kbk,它表示第k+1项Tk+1=Cn2.二项式系数的性质
n=1,Cn=1,Cn+n1+Cmn.m1=Cm-(1)C0
n=Cn-nm(0≤m≤n).Cm
(2)二项式系数先增后减中间项最大.
nnn+1n+32当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为Cn,当n为奇数时,第项和第222
项的二项式系数最大,最大值为Cn?12n或
Cn?12n.
n+C1n+C2n+…+Cn=2n,C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1.(3)各二项式系数和:C0
概念方法微思考
1.(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?
提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗?
提示 不一定最大,当二项式中a,b的系数为1时,此时二项式系数等于项的系数,否则不一定.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
kan-kbk是(a+b)n的展开式的第k项.( × )(1)Cn
(2)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( √ )(3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )
(4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.( √ )题组二 教材改编
2.(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于( )A.80 B.40 C.20 D.10答案 B
5·22=40.k(2x)k=C5k2kxk,当k=2时,x2的系数为C2解析 Tk+1=C5
3.若x+
A.10 B.20 C.30 D.120答案 B
解析 二项式系数之和
2n=64,所以
k·x6-k·n=6,Tk+1=C6
()x
1
n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
6=20.即当k=3时为常数项,T4=C3
()x
1
kx6-2k,当k=C66-2k=0,
4.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为( )A.9 B.8 C.7 D.6答案 B
解析 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.题组三 易错自纠
5.(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( )
n A.Cmn1 C.Cm-
n1B.Cm+
n1D.(-1)m-1Cm-
答案 D
解析 (x-y)n二项展开式第m项的通项为
n1(-y)m-1xn-m+1,Tm=Cm-
n1(-1)m-1.所以系数为Cm-
6.已知
A.1 B.±1 C.2 D.±2答案 C
(ax+
3x)n(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为( )
解析 根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n=32,可得n=5,则
k(x)5-k·二项式的展开式通项为Tk+1=C5
常数项为5a3,根据题意,有C35a3=80,可得C3
()3
a
x15-5k
kx6k=akC5
15-5k
,令=0,得k=3,则其
6
a=2.
7.在2x2-________.答案 1
()x1x
1
n
的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为
解析 因为所有二项式系数的和是32,所以2n=32,解得n=5.在2x2-
()5中,令x=1可得展开式中各项系数的和为(2-1)5=1.
多项展开式的特定项
命题点1 二项展开式问题例1 (1)(2024·山东模拟)-x
xA.-210 C.120 答案 B
解析 由二项展开式,知其通项为令2k-10=4,解得k=7.
7=-120.所以x4的系数为(-1)7C10
kTk+1=C10
()1
10的展开式中x4的系数是( )
B.-120D.210
()x
1
kx2k-10,10-k(-x)k=(-1)kC10
(2)(2024·浙江)在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________.答案 162 5
k(2)9-kxk,当k=0时,第1项为常数项,所以解析 该二项展开式的第k+1项为Tk+1=C9
常数项为(2)9=162;当k=1,3,5,7,9时,展开式的项的系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数为5.
命题点2 两个多项式积的展开式问题
例2 (1)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12 B.16 C.20 D.24
答案 A
4+2C解析 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成,则x3的系数为C34=4+8=12.1
(2)1+
A.15 B.20 C.30 D.35答案 C
解析 因为(1+x)6的通项为
kxk,C6所以
()x2
1
(1+x)6的展开式中x2的系数为( )
6×5
6+C46=2C26=2×因为C2=30,
2×1所以1+故选C.
()1+x2
11
(1+x)6的展开式中含
x2的项为
6x2和1·C2
x2
6x4.·C4
()x2
1
(1+x)6的展开式中x2的系数为30.
命题点3 三项展开式问题
例3 (1)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10 C.30 答案 C
解析 方法一 利用二项展开式的通项求解.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
5(x2+x)3·y2.含y2的项为T3=C2
3x4·x=C13x5.其中(x2+x)3中含x5的项为C1
5C13=30.故选C.所以x5y2的系数为C2
B.20D.60
方法二 利用排列组合知识求解.
(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个因式取y,剩余的三个因式中两个取x2,一个
5C23C1=30.故选C.取x即可,所以x5y2的系数为C2
(2)(2024·合肥检测)x-+15展开式中的常数项为( )
xA.1 B.11 C.-19 D.51答案 B解析 x-+1
x
(1
)(1
)[()]5=
1x
x-
+1
5
展开式的通项为
kTk+1=C5
当k=5时,常数项为C5=1,
()x-x
1
5-k
2C35=-20,当k=3时,常数项为-C15C24=30.当k=1时,常数项为C4
综上所述,常数项为1-20+30=11.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.
跟踪训练1 (1)(x2+x+1)(x-1)4的展开式中,x3的系数为( )A.-3 B.-2 C.1 D.4答案 B
4(-kx4-k(-1)k,解析 (x-1)4的通项为Tk+1=C4(x2+x+1)(x-1)4的展开式中,x3的系数为C34(-1)2+C14(-1)=-2,故选B.1)3+C2
(2)(x+a)10的展开式中,x7项的系数为15,则a=______.(用数字填写答案)
1答案
2
kx10-kak,令10-k=7,解析 通项为Tk+1=C10
3a3=15,∴k=3,∴x7项的系数为C10
1∴a3=
1
,∴a=.82
(3)(1+2x-3x2)5展开式中x5的系数为________.答案 92
5(1+2x)5+C15(1+2x)4(-3x2)+C25(1+解析 方法一 (1+2x-3x2)5=[(1+2x)-3x2]5=C0
2x)3(-3x2)2+…+C5(-3x2)5,
5C525+C15C34×23×(-3)+C25C13×2×(-3)2=92.所以x5的系数为C0
5C535+C15(-1)C4534+C25(-方法二 (1+2x-3x2)5=(1-x)5(1+3x)5,所以x5的系数为C0533+C35(-1)3C2532+C45(-1)4C1531+C5(-1)5C0530=92.1)2C3
二项式系数的和与各项系数的和问题
命题点1 二项式系数和与系数和
2024新高考版大一轮复习用书数学第十章 10.3



