点到直线距离公式的七种推导方法
张晓静
【摘 要】已知点P（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C=0（A≠0，B≠0），则点P到直线l的距离｜Axo＋Byo＋C｜/√A2＋B2. 【期刊名称】《河北理科教学研究》 【年(卷),期】2009(000)002 【总页数】3页(P12-14) 【作 者】张晓静
【作者单位】河北省乐亭县第二中学,063600 【正文语种】中 文 【中图分类】教科文艺
2009 年 第 2 期 河 北理科教学研 究问题讨论点 到直 线 距 离 公 式 的 七 种 推 导 方 法河北 省乐亭县 第二 中学 张晓静 063600已知点 P(xo ， yo) ， 直线 l:Ax+By+C =0(A ≠ O ， 口≠ 0) ，则点 P 到直线 f 的距离 IAxo+BLo+CI 厂矛了曰z1 定义法 证 明 ：根 据 定 义 ， 点P到 直线 f 的距 离 是点 尸 到 直线 f 的 垂 线 段 的长 ， 如 图 l ， 设 点到直线 Z 的垂线为 Z ’ ， 垂 足 为 Q ， 由 f 7┏ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃ V 』┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃尸 × 一┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃／ r┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃┃ ┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛图 l 1l 可知 f ’ 的斜率 为鲁．． ． ． f ’ 的方程 ：y-yn = 鲁 （ 戈 一 菇。） 与 f 联立方程组解得交点 [ACA2YO_AB. Q （ 堡 塑素 譬 擎二 ，A2+ 嚣
二丝 ） ， -AC IPQl ：： （ B2xoiB_yo - 一 一 z 。） ：+（ A2yoABxo- BC 邛 ） ： ：（』等等型 ） z+生爷等型 ）
z=A2(Axo+Byo+C)282(Axo+Bl'o+C)2（ A2+B2） 2 一 + ——(A2+B2)}：(Axo+Byo+c)2． 所 以 ， IPQl ：A2+ B2 IAxo+Byo+Cl ，下了 B2 ·12 · 2 函数法 证 ：点 P 到直线 f 上任意一点 的距离的最小值就是点 P 到 直线 f 的距离 ． 在 Z 上取任意点 Q(x ， )．)， 有 （.4 2+B2 ） [(算 -X0)2+ (y- yo)2]=A2( 茗 -X0)2+B2(y— y.0)2+A2() ，一y0)2 — B2 （ 戈 -zo)2=[.4(x-xo)+ B().-,o)]!+[A （ ，， -,o)-B （』 - 』o)]2≥[A（ 戈 - xo ） 十 B （ ， ， -,-o)]2=(Axo+Bvo+ C)2 （ ‘ ， ’ A 戈 十B ‘ +C=0 ） IAxo+B\ i 习2+() ‘一 yo)2 ≥ —— 了亏 i了 — 萨 ，当且仅当 A() ， 一 yo ） =B （ 戈 -xo ） 时取等号 ， o+Cl所以最小值就是 cz= 上 ≮ Z≠ 警 未 3 不等式法 证 ：点 P 到直线 f 上任意一 点 Q(x ， J’ ) 的距离的最小值就是点 P 到 直线 Z 的距离．由柯西不等式 ：(42+82)[(z — zo)2+(v — y0)2] ≥ [A(x-xo)+B() 一- yo)]2=(Axo +Byo+C)2 ，， ． ． ~ ／ 1j_二 jn)2+(y -}-O)l ≥lA戈o+ Byo+CI 当且仅 当 4(y -yo)： B 厂 页 ‘ B2（ x-xo ） 时取 等 号 ， 所 以 最 小 值 就 是 d= IAxo+Bi ’o+CI ， 刁‘ 酽 4 转化法 证 ：设 卣线 ，的倾 斜 角 为 a 过 点 P 作2009年 第 2 期河 北理科教学研 究已知点 P(xo ， yo) ， 直线 l:Ax+By+C =0(A≠O，口≠ 0) ，则点 P 到直线 f 的距离 I Axo+BLo+CI厂矛了曰z 1定义法证 明 ：根 据 定 义 ，点到 直线 f 的距 离是点 尸 到 直线 f 的 垂线 段 的长 ， 如 图 l ， 设为 Z’垂 足 为 Q ， 由 f┏━┳┓┃ V』┣╋┫尸×┗┻┛图l 1l可知 f的斜率 为鲁．．f的方程 ：y-yn =鲁戈菇。）与联立方程组解得交点 [ ACA2YO_ AB. Q堡 塑素 譬 擎二 A2+嚣二丝 ） ， PQl：：B2xoiB_yo -z。）：+A2yoABxo BC邛 ）生爷等型 ） z= A2(Axo+Byo+C)2 82(Axo+Bl'o+C)2A2+ B2）2+—— (A2+ B2)}所以I PQ l Axo+Byo+Cl，下了 B2· 12 2函数法证 ：点 P 到直线 f 上任意一
点 的距离的)， 有 （.4 2+B2 ） [(算 -X0)2+ yo)2]=A2( 茗 -X0)2+B2(y—y.0)2+ A2() ，y0)2 — B2 （ 戈 -zo)2=[.4(x-xo)+-,o)-B』o)]2≥ [A（ 戈 - xo） 十B-,-o)]2=(Axo+Bvo+ C)2‘A十 B C=0） Axo+B\i习2+()yo)2 ≥ ——亏i了萨当且仅当 A() ， 一 yo ） =B （ 戈 -xo ） 时取等号 ， 3不等式法证 ：点 P 到直线 f 上任意一 点 Q(x ， J)的距离的最小值就是点 P 到 直线 Z 的距离．由柯西不等式 ：(42+82)[(z — zo)2+(v — y0)2]≥[A(x xo)+B() + Byo+C)2~1j_二 jn)2+(y }-O)l lA戈o+ Byo+ CI当且仅 当 4(y yo)：厂 页 ‘ B2x-时取 等 号 ， 所 以 最 小 值 就 是 d= IAxo+ Bi’o+， 刁‘ 酽 4转化法证：设卣线，的倾 斜 角 为 a 过 点 P 作2009 年 第 2 期 河北理科教学研究 PM ∥， ，轴 交 Z 于 M(xl ， yl) ，显然 XI=xo ， A戈o+C． ， ， ． I 尸Ml ： 所以 yI=- 一 曰 J旷 ≮盟 l=l 鱼业巡 I． 易 得 曰么 MPQ=a （ 图 2 ） 或么 MPQ=18(P -a （ 图 3),tan-L:MPQ=tan2a= 篆， 所以 cos/MPQ=_/_,i 2~ ／ A2+ 日2=l PMIcosZ MPQ=纽些进 1 考 斋= 8 J √l Axo+Bj_o+C／矛了哥 J ’ 。 P Z┃ ┃ ┃ vVQx┃ ┃┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃ ┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ━ ━ ┛图 25三角形法 证 ：过点 P 作 PM ∥)，轴交 Z 于 M ，过点P作 PN ∥戈 轴交 f 于 Ⅳ（图 4 ） ．┏ ━ ━ ━ ━ ━ ┳ ━ ━ ━ ━ ┓ ┃ )? 。、┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ f ＼┃ ┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃＼ j┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ┛图 3 'v 。黟┃ ┣ ━ ━ ━ ━ ━ ╋ ━ ━ ━ ━ ┫ ┃ ┃， ／ ’┃ ┃ ┗ ━ ━ ━ ━ ━ ┻ ━ ━ ━ ━ ┛由解法 4 知 I PMI fAxo+Byo+l 一} 一 B 一 ， 图4同 理 得 IP， vI ：鱼半巡 J． 在 Rt△ MPN中， PQ是斜边上的高 ，． _． I． p()I=一 I PMI-IPNI —IAxo+Byo+CI ／PMF 玎 PN- 厂矿■萨 6 参数方程法 证 明 ： 过 点 P （ xo ， yo ） 作 直 线 Z’ ： 算=xo+tCos0 交直线 f 于点 Q ． （ 如图 1 ） y= ，O+tsin0由直线参数方程的几何意义知 ltl ： IPQl ，将 Z ’代入 f 得 ,4xo+ ．4tcos0+Byo+
Btsin0+C=0． 整 理 后 得 1tl=Axo+Bvo+C A(-os0：瓦 lrr0 ① ， 当 f’ 上 z
点到直线距离公式的七种推导方法
