专题四 动点问题 宜宾中考备考攻略
宜宾市近五年的有关动点问题主要包括函数、几何综合知识、函数与几何相结合，很多考生在有限的时间内都不能很好理解和掌握.由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，考生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好与否，直接影响到将来数学的学习.几何图形、函数中的有关动点问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如对称、平移、全等与相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等来寻求等量关系，再利用几何图形和二次函数的性质即可求解.
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动点问题是近年来中考的热点问题.以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题、动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题.
在动态问题中，动点形成的几何问题是常见的题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确地分类.
一、解题步骤
1.分析动点的运动轨迹，这将是分类讨论的依据，如在直线上运动、在线段上运动或是在射线上运动；在一条线段上运动还是在几条线段上运动等这都是我们分类讨论的关键.
2.用含时间t的代数式表示相应的线段的长度.
3.建立等量关系，包括方程或函数关系式建立等量关系时，常考虑由动点构成图形的特殊性、勾股定理，还有图形的面积以及由相似图形得到的比例式等.
4.解方程，在这个过程中注意时间t的取值范围. 二、解决动点问题的常见方法
1.这类问题通过点、线或图形的运动构成一种函数关系，生成一种函数图象，将几何图形与函数图象有机地融合在一起，体现了数形结合的思想，能充分考查学生的观察、分析、归纳、猜想的能力以及综合运用所学知识解决问题的能力.
2.解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看”“写”“选”.
（1）“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点（时刻）是特殊点（时刻），这是准确解答的前提和关键.
（2）“写”就是计算，写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数值和自变量的值.
（3）“选”就是根据解析式选择准确的函数图象或答案，多用排除法.首先，排除不符合相应函数类型的图象选项，其次，对于相同函数类型的函数图象选项，再用自变量的取值范围或函数值的最大值和最小值进行排除，选出准确答案.
3.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索和发现图形性质及图形变化，在解题过程中培养空间观念和合情推理能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动点问题中最核心的数学本质.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.
中考重难点突破
三角形与动点的关系
【典例1】如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t s表示移动的时
1020间，（1）当t＝ 或10 时，△POQ是等腰三角形；（2）当t＝ 时，△POQ是直角三角形.
33中考复习
【解析】（1）如图1，点P在OA上时，△POQ是等腰三角形，又∠AOC＝120°，只能PO＝QO.
10
∵PO＝AO－AP＝10－2t（cm），OQ＝t（cm），∴10－2t＝t，解得t＝；
3
如图2，当点P在OB上时，△POQ是等腰三角形，又∠BOC＝60°，则△POQ是等边三角形. ∵PO＝AP－AO＝2t－10（cm），OQ＝t（cm），∴2t－10＝t，解得t＝10； （2）如图3，当PQ⊥AB时，△POQ是直角三角形，且QO＝2OP.
20∵PO＝AP－AO＝2t－10（cm），OQ＝t（cm），∴t＝2×（2t－10），解得t＝；
3
如图4，当PQ⊥OC时，△POQ是直角三角形，且2QO＝OP，
∵PO＝AP－AO＝2t－10（cm），OQ＝t（cm），∴2t＝2t－10，此方程无解.
1.如图，点A的坐标为（－1，0），点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ B ）
11－，－? A.（0，0） B.?2??2
2222C.?，－? D.?－，－?
2??22??2
2.如图，已知点P是射线ON上一动点（即点P在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝ 30°或75°或120° 时，△AOP为等腰三角形.
四边形与动点的关系
【典例2】如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自点D出发沿DC方向运动至点C后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置.设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.
（1）当x为何值时，直线AD1过点C？
（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？
2
中考复习
（3）求出y与x的函数表达式.
【解析】（1）根据折叠得出AD＝AD1＝2，∠D＝∠AD1P＝90°，设PD＝PD1＝x，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连结PE，求出BE＝CE＝1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，由于AD1＝AD＝2，D1E＝10－2，设PD＝PD1＝x，PC＝3－x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y＝x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，设PD1交AB于F，求出AF＝PF，作PG⊥AB于G，设PF＝AF＝a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x－a）2＋22＝a2，求出a即可. 【解答】解：（1）图1中，由题意得△ADP≌△AD1P，∴AD＝AD1＝2，∠D＝∠AD1P＝90°.设PD＝PD1＝x.∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC.在Rt△ABC中，AC＝22＋32＝13，CD1＝13－2.在Rt△PCD1中，PC2＝
213－42222
PD2. 1＋CD1，即（3－x）＝x＋（13－2）.解得x＝3
213－4
∴当x＝时，直线AD1过点C；
3
（2）图2中，连结PE.∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝1.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10.
∵PD＝PD1＝x，AD1＝AD＝2，∴D1E＝10－2，PC＝3－x.在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2＋（10－2）2
210－2210－2
＝（3－x）2＋12.解得x＝.∴当x＝时，直线AD1过BC的中点E；
33
（3）①当0＜x≤2时，y＝x；
②当2＜x≤3时，如图，点D1在矩形ABCD的外部，设PD1交AB于点F.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴AF＝PF.
过点P作PG⊥AB于点G，设PF＝AF＝a，由题意得AG＝DP＝x，FG＝x－a. 在Rt△PFG中，由勾股定理得（x－a）2＋22＝a2，
4＋x24＋x2x2＋41
解得a＝.∴y＝×2×＝.
2x22x2x
?x（0 ? 综上所述，y＝?x2＋4 （2 3.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（－3，0）、（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位长度的速度运动.以CP、CO为邻边构造?PCOD.在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO. （1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形； 3 （2）当点P运动的时间为 s时，求此时四边形ADEC的周长. 2 （1）证明：连结CD交AE于点F. ∵四边形PCOD是平行四边形， ∴CF＝DF，OF＝PF. 3 中考复习 ∵PE＝AO，∴AF＝EF. ∴四边形ADEC为平行四边形； 33 （2）解：当点P运动的时间为 s时，OP＝， 22 9 OC＝3，则OE＝. 2 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝32. 313 在Rt△COE中，由勾股定理，得CE＝. 2 ∵四边形ADEC为平行四边形， 313 ∴它的周长为（32＋）×2＝62＋313. 2 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连结CD、BE. （1）求证：CE＝AD； （2）当点D在AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由. （1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE. ∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE＝AD； （2）解：四边形BECD是菱形. 理由：∵点D为AB的中点，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE.又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形. ∵∠ACB＝90°，CD是中线，∴CD＝BD. ∴四边形BECD是菱形； （3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形. 理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. ∵点D为AB的中点， ∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°. 由（2）知四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形. 圆与动点的关系 【典例3】如图在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D. （1）求线段AD的长度； （2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由. 【解析】（1）根据相似三角形对应边成比例求得AD的长度； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出ED＝EC，又由等腰三角形两腰对应的底角相等，得 4 中考复习 ∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，两式相加即可得出结论. 【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5 cm. 连结CD.∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB， ∴Rt△ADC∽Rt△ACB. ACADAC29∴＝.∴AD＝＝； ABACAB5 （2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切； 理由：连结OD. ∵DE是Rt△ADC的中线， ∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠ECD. ∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴ED⊥OD. ∴ED与⊙O相切. 5.如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0）、O（0，0）、B（0，6），点D是⊙P上的一动点.当点D到弦OB的距离最大时，tan ∠BOD的值是（ B ） A.2 B.3 C.4 D.5 函数与动点的关系 【典例4】如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N，点P是线段MN上的一个动点，连结CP，过点P作PE⊥CP交x轴于点E. （1）求抛物线的顶点M的坐标； （2）当点E与原点O重合时，求点P的坐标； （3）求动点E到抛物线对称轴的最大距离. 【解析】（1）利用配方法将抛物线的解析式由一般式变形为顶点式，进而即可得出顶点M的坐标； （2）利用相似三角形的性质得出关于PN的一元二次方程，求得PN的长，进而得出点P的坐标； （3）利用二次函数的性质解决最值问题. 【解答】解：（1）∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，－4）； （2）当x＝0时，y＝x2－2x－3＝－3， 5
中考数学复习专题4 动点问题
