23）频率：?n1?3?5kr3?5kr ?n22?
2I2I?5?1?1???0.61824）振型矩阵：?u??????5?1??1?1??2???1? ??0.618?3.3、（15分）根据如图所示微振系统，
1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （5分） 2）求出固有频率； （5分） 3）求系统的振型，并做图。 （5分）
3??2mk?12?2?20频率方程： ?(?2)?k?10m?1?0 k图3 m?13??2k即：(3??2固有频率：?12?(2?2)m2mm)(2??2)?2(3??2)?0 kkkkkk22 < ?2?3 < ?3?(2?2) mmm?2?111??0.41411????振型矩阵： ?u???101?2???10?0.414??
?2?1?1?1?1?????0.414?11．用能量法求如图所示摆作微振动的固有频率。摆锤质量为m，各个弹簧的刚度为k2，杆重不计。（本小题10分）
题三 1 题图
解：（1）确定系统任一时刻势能和动能的表达式
任一时刻系统的动能为：ET?任一时刻系统的势能为：
（2）根据能量法的原理
1?m(lA?)2
2d?ET?U??0求解系统运动的微分方程和系统固有频率
dt?微小振动时: cos??1sin???，且?不总为零，因此可得系统自由振动的微分方程为：
系统固有频率为：
2． 试证明：单自由度系统阻尼自由振动的对数衰减率可用下式表示：
式中：Xn是经过n个循环后的振幅。并计算阻尼系数??0.01时，振幅减小到50%以下所需的循环数。 解：对数衰减率?为相隔两个自然周期的两个振幅之比的自然对数，所以：
所以：??1X0ln nXn单自由度系统阻尼自由振动的响应为：
t=0时刻与nTd时刻（即n个自然周期后的时刻）的两个振幅之比为：
X0Xe0sin?2?2??????0?nT?en??0Td，其中：Td?
2?d?01??XnXesin??d?nTd??? 由此计算出??0.01时，振幅减小到50%以下所需的循环数应满足：
取整后得所需的循环数为12。
3．如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求M的振幅与水平行进速度v的关系。（本小题10分）
题三 3 题图
2?解：根据题意：不平道路的变化周期为：T?，且vT?L，
?对质量元件M进行受力分析，可得如下振动微分方程：
所以振幅与行进速度之间的关系为：
22?x??nx??nYcos?nt 当???n时，?1此时： x?Y?ntsin?nt
2振幅X?度，此时：
2?vkLk??v?——最不利的行进速度。 Lm2?m4．如图所示扭转振动系统，已知各圆盘转动惯量为I1=2I2=2I，各轴段的扭转刚度为kt2=kt1=kt，求该
1Y?nt将随时间的增加而增大，所以???n时所对应的行进速度为最不利的行进速2???n?系统的固有频率和固有振型。（本小题15分）
题三 4 题图 受力分析
解：（1）建立系统自由振动微分方程
取圆盘偏离平衡位置的角位移与为广义坐标，系统受力分析如图所示，应用刚体绕固定轴转动平衡微分方程，可得： 写成矩阵形式为：
（2）求系统固有频率
解频率方程得系统的两阶固有频率为： （3）求系统的固有振型
?2kt?2I?2??K????M?????????kt2???1?kt?1?0?，所以： ?22???22kt?2I?kt?2I????2??kt1??1???11??2系统的第一阶固有振型：????2kt?2I?1????
??2???21??kt??
1??1???11??2系统的第二阶固有振型：????2kt?2I?2???? ????2??21??kt??5．如图所示汽车四自由度模型，取广义坐标?yA,刚度矩阵。（本小题10分）
yB,y1,y2?，试用刚度影响系数法求该系统的
?k2?0答案：???k2??00k40?k4?k20k1?k20??k4?? 0??k2?k3?0 题三 5 题图
《机械振动》课程期终考试卷 答案
