2018 中考数学总复习动点问题
因动点产生的等腰三角形问题练习
1.如图 1，在
Rt△ ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点 D 为边 BC 的中点，DE⊥BC 交边 AC 于点 E，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求 ED、EC 的长；
（2）若 BP＝2，求 CQ 的长；
（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若△ PDF 为等腰三角形，求 BP 的长．
图 1
备用图
解：
（1）在 Rt△
ABC 中， AB＝6，AC＝8，所以 BC＝10．
在 Rt△ CDE 中，CD＝5，所以 ED ? CD ? tan ?C ? 5 ? 3
4 ?15 ，25
4 EC ?．
4
（2）如图 2，过点 D 作 DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为 M、N，那么 DM、DN 是 △ ABC 的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△ PDM∽△QDN． 所以 PMDM 4 QN3 4 ?
DN ? 3 ．所以 QN ? 4 PM
， PM ? 3 QN ．
图 2 图 3
图 4
①
如图 3，当 BP＝2，P 在 BM 上时，PM＝1．
此时 QN ? 33 3 19
4 PM ? 4 ．所以 CQ ? CN ? QN ? 4 ??．
4 4
②如图 4，当 BP＝2，P 在 MB 的延长线上时，PM＝5．
此时 QN ? 3 4 PM ?15 ．所以15 31 4 CQ ? CN ? QN ? 4 ? 4 ? 4．
（3）如图 5，如图 2，在 Rt△ PDQ 中， tan ?QPD ? QDDN 3 PD ? DM ?．
4
在 Rt△ ABC 中， tan ?C ? BA3
CA ? 4．所以∠QPD＝∠C．
由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
因此△ PDF∽△CDQ．
当△ PDF 是等腰三角形时，△ CDQ 也是等腰三角形．
①如图 5，当 CQ＝CD＝5 时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图 3 所示）． 此时 PM ? 44 4 5
3 QN ? 3．所以 BP ? BM ? PM ? 3 ? 3 ? 3 ．
②如图 6，当 QC＝QD 时，由 cos C ? CHCQ 5 4 ，可得 CQ ?25
2 ? 5 ? 8．
所以 QN＝CN－CQ＝ 4 ? 2587
? 8 （如图 2 所示）．
此时 PM ? 43 QN ?7 ．所以 6 BP ? BM ? PM ? 3 ?7 ?25
．
6 6
③不存在 DP＝DF 的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图 5，图 6 所示）．
图 5 图 6
2.如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△ PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使△ MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
图
1
解：（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1,0)、B(3, 0)两点，设 y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点 C(0 ,3)，得－3a＝3．解得 a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是 y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x＝1．
当点 P 落在线段 BC 上时，PA＋PC 最小，△ PAC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H．
由 BHBO ?PH CO，BO＝CO，得 PH＝BH＝2．
所以点 P 的坐标为(1, 2)． 图 2
（3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, ? 6 )或(1,0)．
3.如图 1，点 A 在 x 轴上，OA＝4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置． （1）求点 B 的坐标；
（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
图 1
解：（1）如图 2，过点 B 作 BC⊥y 轴，垂足为 C．
在 Rt△ OBC 中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以 BC＝2， OC ? 2 3 ．
所以点 B 的坐标为 (?2, ?2 3) ．
（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 y＝ax(x－4)，
代入点 B (?2, ?2 3) ， ?2 3 ? ?2a ? (?6) ．解得 a ? ? 3
6 ．
所以抛物线的解析式为 y ? ?
36 x( x3 ? 4) ? ?22 3 6 x ?
x． 3
（3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P 的坐标为(2, y)．
①当 OP＝OB＝4 时，OP2＝16．所以 4+y2＝16．解得 y ? ?2 3 ．
当 P 在 (2, 2 3) 时，B、O、P 三点共线（如图 2）．
②当 BP＝BO＝4 时，BP2＝16．所以 42 ? ( y ? 2 3) 2 ? 16 ．解得 y 1?
y 2
? ?2 3 ．
③当 PB＝PO 时，PB2＝PO2．所以 42 ? ( y ? 2 3) 2 ? 22 ? y 2 ．解得 y ? ?2 3 ．
综合①、②、③，点 P 的坐标为 (2, ?2 3) ，如图 2 所示．
图 2 图 3
4.如图 1，已知一次函数 y＝－x＋7 与正比例函数 y ? 4
3 x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B．
（1）求点 A 和点 B 的坐标；
（2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l//y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时 直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l交 x 轴 于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒． ①当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？
②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的 值；若不存在，请说明理由．
图 1
? y ? ? x ? 7,
解：（ 1）解方程组 ??
? x ? 4 3, ??得 y ? x,?y所以点y ? 4.A的坐标是(3，4)．
? 令 ? ? x ? 7 ? 0 ，得 x ? 37 ．所以点 B
的坐标是(7，0)．
（ 2 ） ① 如 图 2 ， 当 P 在 OC 上 运 动 时 ， 0≤t ＜ 4 ． 由 S△A P R ? S梯形C O R A? S△
? ?8 ， 得
ACP S
△ POR
12（ 1 13+ 7? t )? 42? ? 4? ( 4? )? ? ( 7? ) ．整理，得8 t 2 ? 8t ? 12 ? 0 ．解得 t＝2 或 t＝6（舍去）．如
图 3，当 P 在 CA 上运动时，△ APR 的最大面积为 6．
因此，当 t＝2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8．
图 2 图 3 图 4
②我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0≤t＜4．
如图 1，在△ AOB 中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， AB ? 4 2 ，所以 OB＞AB．因此∠OAB＞ ∠AOB＞∠B．
如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以 PQ//x 轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP 的情况． 此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以 BR＝1，t＝1．
我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形，4≤＜t 7．
在△ APQ 中， cos ?A ? 35 5 20
5 为定值， AP ? 7 ? t ， AQ ? OA ? OQ ? OA ? 3 OR ? 3 t ? 3．
如图 5，当 AP＝AQ 时，解方程 7 ? t ? 5 20 3，得t?41
．
t ?
3 8 如图 6，当 QP＝QA 时，点 Q 在 PA 的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程 7 ? t ? 2[(7 ? t ) ? (t ? 4)] ，得 t ? 5 ．
1
如 7，当 PA＝PQ 时，那么
cos ?A ? 2AQ ．因此 AQ ?
2 AP ? cos ?A ．解方程5 t ?20 ? 2(7 ? t ) ? 3 ，得
AP 3 3 5 t ? 226
43 ．
综上所述，t＝1 或 41 或5或226
时，
8 43 △ APQ 是等腰三角形．
图 5
图 6 图 7
5.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝m（m 是大于 0 的常数），BC＝8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B、 C 重合）．连结 DE，作 EF⊥DE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE＝x，BF＝y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）若 m＝8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
（3）若 y ? 12
m ，要使△ DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
图 1
解：(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以
△ DCE∽△EBF．因此 DC
CE
?
EB
m8?．整理，得xy关于x的函数关系为y??1 28
BF ，即? y m x ?m x ． (2)如图 2，当 m＝8 时， y ? ? 11
8 x2 ? x ? ? 8 ( x ? 4)2 ? 2 ．因此当 x＝4 时，y 取得最大值为 2．
(3) 若 y ? 12 1 28
为等腰三角形，只存在m ，那么 m12 ??
m x ?x．整理，得 m x2 ? 8x ? 12 ? 0 ．解得 x＝2 或 x＝6．要使△ DEF
ED＝EF 的情况．因为△ DCE∽△EBF，所以 CE＝BF，即 x＝y．将 x＝y ＝2 代入 y ? 1212
m ，得 m＝6（如图 3）；将 x＝y ＝6 代入 y ? m，得 m＝2（如图 4）．
图 2 图 3 图 4
6.如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF//BC 交 CD 于点 F，AB＝4， BC＝6，∠B＝60°．
（1）求点 E 到 BC 的距离；
（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PM⊥EF 交 BC 于 M，过 M 作 MN//AB 交折线 ADC 于 N，连结 PN，设 EP＝x．
①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），△ PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△ PMN 的周长；若 改变，请说明理由；
②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P，使△ PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由．
图 1 图 2 图 3
解：（1）如图 4，过点 E 作 EG⊥BC 于 G．
在 Rt△ BEG 中， BE ? 1 AB?2，∠B＝60°，
2
所以 BG ? BE ? cos 60? ? 1 ， EG ? BE ? sin 60? ? 3 ．
2018年中考数学总复习动点问题练习(含答案)
