课程主题：10数的整除综合 1．在对具体问题的思考、观察中概括、理解整除的定义，知道整除的要素，掌握整除的两种表述方法 学习目标 2．掌握用分解素因数求两个数的最大公因数方法；理解用短除法求最大公因数的算理，会用短除法求两个数的最大公因数 3．理解用短除法求最小公倍数的算理，会用短除法求两个数的最小公倍数 课前测验 1．__________、__________和__________统称为整数． 2．下列说法中，错误的是（ ） A. 没有最大的正整数 B. 没有最大的整数 C. 没有最大的负整数 D. 没有最大的自然数 3．求下列各组数的最大公因数． （1）36和48 （2）27和81 4．??=3×5×5，??=3×3×5，则A和B的最大公因数是__________． 5．两个正整数的和是50，他们的最大公因数是5，这两个数的差最大是几？ 6．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数． （1）42和14 （2）36和48 （3）8、12、30 （4）30、45、90 7．如果两个数的最小公倍数是48，最大公因数是8，那么这两个数分别是__________． 知识网络 一、整数 1．正整数、零、负整数统称为整数（integer）. 【说明】既没有最大的整数，也没有最小的整数． 【注意】本章中学习的“整数”，在没特别说明时，都是指正整数． 例1．从0，2，3，5，8中选出四个数字组成一个能同时被2，3，5整除的最大四位数是______． 【解答】能被2、3、5同时整除的数末尾数字一定是0，从2、3、5、8中抽三个数使其最大并且能被3整除即可。 【答案】8520 例2．一个三位数，十位是最小的自然数，百位是最小的正整数，三个数位数字之和是4，求这个三位数． 【答案】103． 例3．两个不同的正整数的积是（ ） A. 素数 【答案】D B. 合数 C. 偶数 D. 有素数也有合数 【巩固练习】 1．在正整数中，1是（ ） A. 最小的奇数 B. 最小的偶数 C. 最小的素数 D. 最小的合数 二、整除 1．整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除． 【注意】整除的两种读法：“被除数能被除数整除”；或者说“除数能整除被除数”． 【说明】整除的条件： （1）除数、被除数都是整数； （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零． 例1．把下列算式按“除尽”、“除不尽”、“整除”填入相应的横线（填序号） （1）91÷7；（2）3.6÷1.2；（3）40÷3；（4）35÷0.6；（5）1.6÷8；（6）57÷3；（7）30÷7；（8）17÷68． 除尽：______________________________； 除不尽：______________________________； 整除：______________________________． 【答案】除尽：（1）（2）（4）（5）（6）（8）；除不尽：（3）（7）；整除：（1）（6）． 例2．用0，5，8组成的三位数同时被2，5整除，则最小的三位数是__________． 【答案】580． 【巩固练习】 1．下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ） A. 14和7 B. 2.5和5 C. 9和18 D. 0.4和8 2．用7，4，5，0这四个数组成同时能被2，5整除的最小四位数是_________． 三、因数和倍数 1．因数和倍数的性质： （1）任何一个整数既是它本身的倍数，又是它本身的因数； （2）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数； （3）0是任何一个非零自然数的倍数，任何一个非零自然数都是0的因数． 例1．求96和72的最大公因数，78和104的最小公倍数． 【答案】 所以96和72的最大公因数为：2×2×2×3=24； 所以78和104 的最小公倍数为：2×13×3×4=312． 例2．如果两个正整数的最大公因数是3，最小公倍数是30，那么这两个数分别是__________． 【答案】6，15 【巩固练习】 1．已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，这两个数是__________． 2．在1，2，5，10，12，60各数中，__________分别是60的因数，__________是4的倍数． 四、素数、合数 1．一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数（composite number）． 【说明】 （1）1既不是素数，也不是合数． （2）正整数又可以分为1、素数和合数三类； （3）2既是最小的素数，也是素数中唯一的偶数； （4）4是最小的合数． 2．一个正整数，如果只有l和它本身两个因数，这样的数叫做素数（prime number），也叫做质数． 五、最大公因数 1．求几个整数的最大公因数的方法： （1）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数． （2）分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们公有素因数的乘积． （3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数． （4）特征法： ①两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数； ②如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1． 例1．一个长方形的操场，长90米，宽66米，在四角和四周种上树苗，使得相邻的两棵苗间的距离都相等． （1）最远应每隔多少米种一棵？ （2）一共需要树苗多少棵？ 【答案】（1）6米；（2）52棵． 例2．某班王同学到图书馆借书，若借40本，平均分发给每个同学还差2本；若借65本．平均分发给每个同学还剩2本；若借83本．平均分发给每个同学则还差1本；最多有多少名同学？ 【解答】40＋2=42（本），65－2=63（本），42，63，84的最大公因数是21． 【答案】21名． 【巩固练习】 1．现有练习本45本，橡皮90块，铅笔75支，若要将这些分成若干份同样的奖品，不得有剩余，最多能有多少份奖品？每份奖品中练习本，橡皮，铅笔，各有多少？
10数的整除综合(学生版)
