一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
21．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax?bx?c(a?0)变形为
a(x?m)2?n的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对
一些多项式进行因式分解．例如：
22211?25?115??115??11??11??x2?11x?24?x2?11x???????24??x?????x????x????2??2??2?4?22??2根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将x2?8x?1化成(x?m)2?n的形式，则x2?8x?1= ________；
（2）用配方法和平方差公式把多项式x2?2x?8进行因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式x2?y2?2x?4y?16的值总为______（填序号）．
①正数②非负数 ③ 0
【答案】（1）(x?4)2?17；（2）(x?2)(x?4)；（3）①
【解析】 【分析】
（1）根据材料所给方法解答即可； （2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答. 【详解】
解：（1）x2?8x?1 =x2?8x?16?1?16
(x?4)2?17.
（2）原式=x2?2x?1?1?8 =(x?1)2?9 =(x?1?3)(x?1?3) =(x?2)(x?4)．
（3）x2?y2?2x?4y?16
=?x2?2x?1???y2?4y?4??11 =?x?1?2??y?2?2?11 ＞11 故答案为①. 【点睛】
本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
2．（阅读材料）
2?
因式分解：?x?y??2?x?y??1．
解：将“x?y”看成整体，令x?y?A，则原式?A2?2A?1??A?1?． 再将“A”还原，原式??x?y?1?．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. （问题解决）
（1）因式分解：1?5?x?y??4?x?y?； （2）因式分解：?a?b??a?b?4??4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式?n?1??n?2?n?3n?1的值一定是某个整数的平
22222??方．
【答案】（1）?1?x?y??1?4x?4y?．（2）?a?b?2?；（3）见解析.
2【解析】 【分析】
（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；
（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解； （3）将原式转化为n?3n?2n?3n?1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】
（1）1?5?x?y??4?x?y???1?(x?y)??1?4(x?y)??(1?x?y)(1?4x?4y)； （2）?a?b??a?b?4??4?(a?b)?4(a?b)?4?(a?b?2)；
222?2??2?（3）原式?n?3n?2n?3n?1
222????n?3n??2?n?3n??1
22????n2?3n?1?．
2∵n为正整数， ∴n2?3n?1为正整数．
∴代数?n?1??n?2?n?3n?1的值一定是某个整数的平方．
2??【点睛】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
3．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8. 【解析】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案； （2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案； （3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案． 试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0， ∴（x﹣y）2+（y+3）2=0， ∴x﹣y=0，y+3=0， ∴x=﹣3，y=﹣3， ∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9， 即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0， ∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0， ∴a﹣5=0，b﹣6=0， ∴a=5，b=6， ∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6， ∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10． （3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0， ∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0， ∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0， ∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4， ∴a+b+c=4﹣4+8=8， 即a+b+c的值是8．
4．先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数abc （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12． （1）对于“欢喜数abc”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除； （2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求
北京师范大学燕化附属中学数学整式的乘法与因式分解单元达标训练题(Word版 含答案)
