.
证明：显然当 x
0, 1
时，（n>2）有
2
1 1 1 1
1 1
1 2 dx
2 dx
n
2
0
n
0
2
arcsinx 2
1 x
1 x
2
1 x 1 x
0 6
11
即，
2 dx
, (n
2)
2
0
1 x n
6
3． 设 f ( x) ，g(x) 区间
a, a (a 0) 上连续， g(x) 为偶函数，且
f ( x) 满足条件
f ( x)
a
f ( x)
A( A为常数 )。证明：
f (x) g( x)dx
Aa
g( x)dx
a
0
a 0
f (x) g( x)dx
a
证明：
f ( x) g( x)dx
f ( x) g(x)dx
a
a
0
0 0 a f ( x)g( x)dx
令 x u
f ( u)g ( u)du f ( x) g( x)dx
a
a
0
a f (x) g( x)dxa
f ( x) g(x)dxa
f ( x) g( x)dxa
f ( x) f ( x) g( x)dx A g (x)dxa
a
0
0
0
0
4．设 n 为正整数，证明
2
cosn
n n
x sin xdx
1
n
2 cos xdx
0
2
0
证明：令 t=2x, 有
2 cosn xsin n xdx
1 2
(sin 2x) n d 2x
1 sin n tdt
0
0
2 n 1
2n 1 0
1 2
sin n tdt
sin n tdt ,
2 n 1
0
2
又，
sin n
tdtt
u 0
sin n
(
u)du
2
sin n
udu ，
2
2 0
所
以
，
2
n
x
1
n
1
n
0 c
xs
n
n 1 (
2
0 s
n t
02 s ot ) i1
d2
s n
n
0
t
ni
sd
x i sd n
2
2
2
2
n
xdxx
t 0
n
cosn xdx
又，
sin
cos tdt
2
2
2
0
2
.
x i d
.
因此， 2 cosn x sin n xdx
1 2
n
2
cosn xdx
0
0
5 ． 设 (t)
是 正 值 连续 函数 ， f ( x)
a a
x t (t) dt , a x a(a 0), 则 曲线
y f (x) 在
a,a 上是凹的。
x a
a x
证明： f ( x )
( x t )
( t ) dt
x
( t
x )
( t ) dt
x
f ( x)
x
x a
(t)dt (t)dt
a
t (t)dt (t )dt
x a
x a
t (t )dt
x a
x
a x
(t)dt
a
(t)dt
(t )dt
a
x
f ( x) ( x) ( x) 2 (x) 0
故，曲线 y
f (x) 在 a, a 上是凹的。
6. 证明：
1
dx x2
1 x
dx
x 1
1
1 x2
证明：
1
x
dx
令x 1
u
1 x 1
1 x 1
2
1 1 x
1 1 u 2
(
1
2
du)
du
dx
2 2
1 x
1
u
1 u
1 x
7． 设 f ( x) 是定义在全数轴上，且以
T
T 为周期的连续函数， a 为任意常数，则
a T a
f ( x)dx
0
f (x)dx
a T
证明：
T
a 0
f ( x) dx
令 x u T a
a T T
f (u T )du
0
a
f ( x)以T为周期
f ( x T ) dx
0 f ( x T ) f ( x)
a 0
f ( x)dx
f ( x)dx
f ( x)dx
0
在等式两端各加
f (x)dx ，于是得
0
T
a T a
f ( x)dx
f ( x)dx
0
T
8．若 f (x) 是连续函数，则
x 0
u 0
f (t )dt du(x u) f (u)du
0
x
证明：
x 0
u 0
f (t) dt du u
u
x
x
0
f (t )dt
0
0
uf (u) du
.
x
x 0
.
x f (t )dt
0
x 0
uf (u)du
( x u) f (u)du
9．设 f (x) ， g(x) 在 a, b
b
上连续，证明至少存在一个
x a
(a,b) 使得
f ( ) g( x)dx
g ( ) f ( x)dx a
b
证明：作辅助函数 F ( x)
f (t) dt
g(t )dt ，由于 f ( x) , g ( x) 在 a, b 上连续，所
x
以 F (x) 在 a, b 上连续，在（ a,b ）内可导，并有
F ( )
x
F (a)
F (b) 0
由洛尔定理
0, (a, b)
b
x x
b x b
x a
即
a
f (t)dt
x
g(t )dt
f (x)
g(t )dt g( x)dx
f (t) dt g( x) x
g( ) f ( x)dx
a
b
f ( )
＝0
g ( )
a
亦即， f ( )
g (x) dx
f (x)dx
10．设 f ( x) 在 a,b 上连续，证明：
b a
2
f ( x)dx
(b a)
b a
f ( x)dx
2
证明：令 F ( x)
x a
2
f (t )dt
(x a)
x a
f (t )dt
2
F ( x)
x a
f (t)
f (x) dt
2 0
故 f (x) 是
a,b 上的减函数，又 F (a)
2
0 ， F (b)
F ( a)
0
故
b a
f ( x)dx
(b a)
b a
f ( x)dx
2
11．设 f ( x) 在 a,b 上可导，且 f ( x)
M ， f (a)
2
0 证明：
b a
f ( x)dx
M
2
(b a)
证明：由题设对
x a, b , 可知 f ( x) 在 a, b 上满足拉氏微分中值定理，于是
.
.
有
f ( x ) f ( x) f ( a) f ( )( x a ),
a , x
又 f ( x) M ，因而， f ( x) M ( x a) 由定积分比较定理，有
b a
f ( x)dxM ( x a)dx
a
b
M
2
(b a)
2
.
高等数学练习试题库与答案
