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《误差理论与数据处理》
第一章 绪论
1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：
(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；
(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；
(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？
答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；
随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；
绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定
o
1－5 测得某三角块的三个角度之和为18000’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：
绝对误差等于：180 o00?02???180o?2??相对误差等于：
2??2??2???＝?0.00000308641?0.000031% o
180180?60?60??648000??1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试
问该被测件的真实长度为多少？
解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L＝L－L0 已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，
测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？
解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即：
100.2－100.5＝－0.3（ Pa）
1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20?m，试求其最大相对误差。
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相对误差max?绝对误差max?100%测得值
20?10-6 ??100%2.31 ?8.66?10-4%1-9、解：
4?2(h1?h2)由g?，得
T24?2?1.04230g??9.81053m/s2
2.04804?2(h1?h2)对g?进行全微分，令h?h1?h2，并令Vg，Vh，VT代替dg，dh，dT得
T24?2Vh8?2hVT Vg??23TT从而
VgVhVT的最大相对误差为： ??2ghTVgmaxVhmaxVT??2max ghT =
0.00005?0.0005 ?2?1.042302.0480=5.3625?10?4%
4?2(h1?h2)由g?，得T?T24?2h，所以 g4?3.141592?1.04220T??2.04790
9.81053VgVhVTVgVgTVhTVh由max?max?2max，有VTmax?max{ABS[(max?min)],ABS[(min?max)]}
ghT2hg2hg
1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？
最大引用误差?
某量程最大示值误差?100%测量范围上限?2?100%?2%?2.50
该电压表合格
1-11 为什么在使用微安表等各种表时，总希望指针在全量程的2/3 范围内使用？
答：当我们进行测量时，测量的最大相对误差:
△xmaxxm ?s%即:
A0A0.
?max?xms?.
所以当真值一定的情况下，所选用的仪表的量程越小，相对误差越小，测量越准确。因此我们选择的量程应靠近真值，所以在测量时应尽量使指针靠近满度范围的三分之二以上． 1-12用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差
50.004?50?100%?0.008%
5080.006?80L2:80mm I2??100%?0.0075%
80L1:50mm I1?I1?I2 所以L2=80mm方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：
多级火箭的相对误差为： 0.1?0.00001?0.001%
10000
射手的相对误差为： 1cm0.01m??0.0002?0.02%
50m50m
多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为?11?m和?9?m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为?12?m，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差
11?m??0.01%
110mm9?m I2????0.0082%
110mm12?m??0.008% I3??150mmI1??I3?I2?I1第三种方法的测量精度最高
第二章 误差的基本性质与处理
2-1．试述标准差 、平均误差和或然误差的几何意义。
答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；
从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N条线段的平均长度；
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2-2．试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差 ，两者物理意义及实际用途有何不同。
2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率
2-4．测量某物体重量共8次，测的数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。
x?236.4??236.430.05?(?0.03)?0.11?(?0.06)?(?0.01)?0.08?0.07?0 8???vi?1n2in?1?0.0599
?x??n?0.0212
2-5用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4，并比较
2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，168.59，168.40，
168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
x?168.41?168.54?168.59?168.40?168.50
5 ?168.488(mA)
???vii?1525?1?0.082(mA)
?x??n?0.082?0.037(mA) 5或然误差：R?0.6745?x?0.6745?0.037?0.025(mA)
平均误差：T?0.7979?x?0.7979?0.037?0.030(mA)
2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。x?20.0015?20.0016?20.0018?20.0015?20.0011
5 ?20.0015(mm)
5??.
?vi?12i5?1?0.00025
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正态分布 p=99%时，t?2.58 ?limx??t?x ??2.58?0.00025 5 ??0.0003(mm)
测量结果：X?x??limx?(20.0015?0.0003)mm
2—7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。 解：
n求算术平均值
li
x?i?1?20.0015mm nn求单次测量的标准差
vi2 26?10?8i?1????2.55?10?4mm n?14求算术平均值的标准差 ?2.55?10?4?x??＝1.14?10?4mm n5确定测量的极限误差
因n＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。 现自由度为：ν＝n－1＝4； α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：ta＝4.60 极限误差为
?limx??t??x??4.60?1.14?10?4?5.24?10?4mm
写出最后测量结果
L?x??limx?20.0015?5.24?10?4mm
????2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差??0.004mm，若要求测量结果的置信限为?0.005mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。
正态分布 p=99%时，t?2.58 ?limx??t?n n?
2.58?0.004?2.0640.005
n?4.26取n?5.
《误差理论与数据处理》答案
