2.3.2 方差与标准差
1．理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差．(重点、难点)
2．掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．(难点)
[基础·初探]
教材整理 方差与标准差
阅读教材P69～P70“例4”上边的内容，并完成下列问题． 1．极差的概念
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 2．方差与标准差的概念
1n－－22
(1)设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x，则称s＝? (xi－x)为这个样
ni＝1
本的方差．
(2)方差的算术平方根s＝
2
?xi－x?为样本的标准差． ?n1
n－
i＝1
填空：
1n－2
(1)已知样本方差为s＝? (xi－5)，则样本的平均数x＝________；x1＋x2＋…＋x10
10i＝1
2
＝________. 【导学号：】
【解析】 由题意得x＝5，n＝10， ∴x＝x1＋x2＋x3＋…＋x10
10
＝5，∴x1＋x2＋x3＋…＋x10＝50.
【答案】 5 50
(2)数据10,6,8,5,6的方差s＝________.
2
10＋6＋8＋5＋6
【解析】 5个数的平均数x＝＝7，
5
1222222
所以s＝×[(10－7)＋(6－7)＋(8－7)＋(5－7)＋(6－7)]＝.
5【答案】
[小组合作型]
方差与标准差的计算
(1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图2-3-7， 则该运
动员在这五场比赛中得分的方差为________．
图2-3-7
(2)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，
i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和标准差分别为________、________.
【精彩点拨】 根据方差和均值的定义进行计算．
【自主解答】 (1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平8＋9＋10＋13＋15
均数为＝11.
5
11222222
故方差为s＝[(8－11)＋(9－11)＋(10－11)＋(13－11)＋(15－11)]＝(9＋4＋1
55＋4＋16)＝.
1
(2)样本数据x1，x2，…，x10的均值x＝(x1＋x2＋…＋x10)＝1，
1012222
方差s′＝[(x1－1)＋(x2－1)＋…＋(x10－1)]＝4，
10新数据x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的均值
x＝(x1＋a＋x2＋a＋…＋x10＋a)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝1＋a.
新数据x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的方差
110110
s2＝[(x1＋a－1－a)2＋(x2＋a－1－a)2＋…＋(x10＋a－1－a)2]
110
1222
＝[(x1－1)＋(x2－1)＋…＋(x10－1)]＝4.∴s＝2. 10【答案】 (1) (2)1＋a 2
求样本方差或标准差的步骤：
n－1
(1)求样本的平均数x＝?xi；
ni＝1
1n－22
(2)利用公式s＝? (xi－x)求方差s；
2
ni＝1
(3)利用s＝s求标准差s.
[再练一题]
1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
112
【解析】 由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s＝[(－1
55－1)＋(0－1)＋(1－1)＋(2－1)＋(3－1)]＝2.
【答案】 2
2
2
2
2
2
2
件中抽取6件测量，所得数据为：
甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数与方差；
方差与标准差的应用 甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从加工的零(2)根据计算的结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 【精彩点拨】 求平均数→计算方差 →根据方差的大小进行判断
1
【自主解答】 (1)x甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
6
x乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
22222
s2甲＝[(99－100)＋(100－100)＋(98－100)＋(100－100)＋(100－100)＋(103－
1
6
16
72
100)]＝，
3
22222
s2乙＝[(99－100)＋(100－100)＋(102－100)＋(99－100)＋(100－100)＋(100－
1
6
100)]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同． 又s甲＞s乙，
所以乙机床加工零件的质量更稳定．
1．方差和标准差都是反映一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小或数据越集中，稳定．
2．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及方差或标准差这两个方面考虑．
[再练一题]
2．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次测试，成绩记录如下： 甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80
现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，应选择________同学．(填“甲”或“乙”)
【解析】 x甲＝80，x乙＝80，
1222222
而s甲＝×[(78－80)＋(76－80)＋(74－80)＋(90－80)＋(82－80)]＝32.
5
22222
s2乙＝×[(90－80)＋(70－80)＋(75－80)＋(85－80)＋(80－80)]＝50.
2
2
2
1
5
∵x甲＝x乙，s甲＜s乙，
∴从统计学的角度考虑，选甲参加更合适． 【答案】 甲
[探究共研型]
22
平均数、方差的性质 探究1 方差与原始数据的单位相同吗？为什么？标准差的取值范围如何？s＝0表示怎样的意义？
【提示】 由于方差进行了平方运算，故方差的单位是原始数据单位的平方，从而标准差的单位与原始数据的单位相同．由标准差的定义知s≥0，当s＝0时，表示所有的样本数
据都相同．
探究2 所有样本数据均加上一个常数，其平均数、方差改变吗？若所有样本数据均乘以一个非零常数时，结果又会怎样？
－2
【提示】 设样本x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s，则样本x1＋b，x2＋b，…，
xn＋b的平均数为x＋b，方差为s2；样本ax1，ax2，…，axn的平均数为ax，方差为a2s2.
从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)
数据如下：161,163,162,165,164.求这5名学生身高的平均数及标准差． 【精彩点拨】 本题可用两种解法． 方法一是直接套公式计算．
方法二把原数据统一减去一个常数160，通过新数据的平均数、方差求解． －
【自主解答】 法一：身高的平均数x＝ 161＋163＋162＋165＋164
＝163(cm)，
5标准差s＝
122222[?161－163?＋?163－163?＋?162－163?＋?165－163?＋?164－163?] 5＝2(cm)．
法二：将原数据都减去160之后得到一组新数据为1,3,2,5,4， 1－
新数据的平均数x′＝(1＋3＋2＋5＋4)＝3，
5
1222222
新数据的方差s′＝[(1－3)＋(3－3)＋(2－3)＋(5－3)＋(4－3)]＝2，
5由平均数及方差的性质得
－
原数据的平均数x＝160＋3＝163(cm)， 原数据的标准差s＝s′＝2(cm)．
1．平均数、方差具有以下性质．
(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．
－2
(2)若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平－22
均数为mx＋a，方差为ms.
2．利用以上性质可使平均数，方差的计算变得简单．
2
－－
版高中数学 统计 方差与标准差学案
