专题三 圆切线的相关证明及计算
类型一 角平分线模型
(2024·云南省卷)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE. (1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】(1)连接OC，先证明∠OAC＝∠OCA，结合AC平分∠BAE，得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影＝S△COD－S扇形OBC即可得到答案． 【自主解答】
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1．(2024·营口)如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是BE的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线；
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(2)若cos∠CAD＝，BF＝15，求AC的长．
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2．如图，半圆O的直径AB＝5，AC、AD为弦，且AC＝3，AD平分∠BAC，过D作AC延长线的垂线，垂足为E. (1)求证：DE为⊙O的切线； (2)求AD的长．
3．(2024·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆． (1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
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4．(2024·咸宁)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝25，BC＝5，求DE的长．
5．(2024·原创)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠CAB＝30°，⊙O经过点C，且直径AD在线段AB上，连接OC，OE平分∠AOC交弧AC于点E，连接AE，EC. (1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)若M在边AC上，OM＝CM＝2，求△ABC的面积．
6．(2024·成都)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB＝x，AF＝y，试用x，y的代数式表示线段AD的长； 5
(3)若BE＝8，sin B＝，求DG的长．
13类型二 弦切角模型
(2024·云南省卷)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC. (1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积． 【自主解答】
1．(2024·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B.
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(1)求证：AC是⊙O的切线；
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(2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．
22．(2024·齐齐哈尔)如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC. (1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．
3．(2024·曲靖二模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作∠ADE＝∠A，交AC于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线；
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(2)若BC＝15，tan A＝，求DE的长．
4
4．(2024·兰州)如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，∠ACD＝∠B. (1)求证：DC为圆O的切线；
(2)线段DF分别交AC，BC于点E，F，且∠CEF＝45°，圆O的半径为5，sin B3
＝，求CF的长． 5类型三 双切线模型
(2024·云南省卷)已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f. (1)求证：PC是⊙O的切线； 3
(2)设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；
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(3)设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．
【分析】 (1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA，由平行线的性质得到∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，等量代换得到∠COP＝∠BOP，由切线的性质得到∠OBP＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过O作OD⊥ACOC3
于D，根据相似三角形的性质得到CD·OP＝OC，根据已知条件得到＝，由OP3
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三角函数的定义即可得到结论；(3)连接BC，根据勾股定理得到BC＝AB2－AC2＝12，分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时d＋f的值，从而得到结论． 【自主解答】
1．(2024·曲靖)如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D.恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC. (1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若PC＝3，求四边形OCDB的面积．
2．(2024·江西)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD. (1)求证：AB为⊙O的切线；
3．(2024·临沂)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E. (1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BD＝3，BE＝1，求阴影部分的面积．
4．(2024·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接
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PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB. (1)求证：PB是⊙O的切线； PE
(2)若∠APC＝3∠BPC，求的值．
CE
参考答案
【专题类型突破】 类型一
【例1】 (1)证明：如解图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC＝∠CAE， ∴∠OCA＝∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD＝∠E，
∵AE⊥DE，∴∠E＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， 又∵点C在圆O上， ∴DE是圆O的切线；
(2)解：∵在Rt△AED中，∠D＝30°，AE＝6， ∴AD＝2AE＝12，
在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，
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云南中考数学总复习专题训练：专题三 圆切线的相关证明及计算
