排列组合问题整理归
纳与习题
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排列组合
1.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列要注意合并元素内部也必须排列. 一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 288 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 2.
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要
相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 复合元素，再与其它元素进行排列同时对相邻元素内部进行自排由分步计数原理可得共有488 3.
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 5！ 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 A64 不同的方法 相乘可得 4.
四.定序问题倍缩空位插入策略
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例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是：7！/3!
（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个
位置甲乙丙共有A74 种坐法，则共有1 种 方法
5.允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m^n 种
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有 7^6 种不同的排法 6.一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究 七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法
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解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.甲乙个特殊元素有A42种,再排后4个位置上的特殊元素有__A41___种,其余的5人在5个位置
上任意排列有_5！___种,则共有_________种. 7.
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法 .
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素
(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.根据分步计数原理装球的方法共有C52*4!解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 8.
九.小集团问题先整体局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之
间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有____种排法，再排小集团内部共有_______种排法，由分步计数原理共有___2!2!2!____种排法. 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
9将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 .十.元素相同问题隔板策略
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例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___C96________种分法。
10.平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。 十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为
ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 种分法。 11.
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?
10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
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排列组合问题整理归纳与习题备课讲稿
