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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第5章 连续系统的s域分析
5.1求下列函数的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。
解：利用拉普拉斯变换的性质求解。
11111（1）1?,e?t?，所以1?e?t???,Re[s]?0。
ss?1ss?1s(s?1)（2）
，e?2t?1,Re?s???2所以 s?2（3）sint?（4）cos1s32s2s?3,cost?，所以3sint?2cost?2 ?2?2,Re[s]?0。22s?1s?1s?1s?1s?1
?2t?45o??22cos?2t??sin?2t?sin2t?22,cos2t?2s，
s?4s?422，
所以
2s2s?2o2cos(2t?45)?2?2?,Re[s]?0。 2s?4s?42(s?4)112s?tt?te?,e?e?e?,Re[s]?1。 （5），所以2s?1s?1s?1t（6）sin2t?22?tesin2t?,Re[s]??1。 ，所以
s2?4(s?1)2?4。
，所以。
（7）（8）
，所以
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 补充说明：由拉氏变换的线性性质可知：多个函数组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合，而其收敛域为各个函数收敛域的交集，交集一般小于各个函数的收敛域，但有时亦可能扩大。收敛域扩大现象原因就是计算过程中零点与极点相消，使多个函数的组合函数的拉氏变换收敛域扩大。
5.2求图5-1所示各信号拉普拉斯变换，并注明收敛域。
图5-1
解：（1）由图5-1（a）可得：
由，Re[s]＞0 根
据
时
移
性
可
得
（2）由图5-1（b）可得：
根据时移性可得：
（3）由图5-1（c）可得：
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：
www.100xuexi.com 由
根据时移性可得：由
复
频
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域
微
分
性
可
得
：
（4）由图5-1（d）可得：由可得：（5）
，
f?t?为因果信号，由图5-1（e）可知，其导数为：
其拉氏变换为：根据时域积分特性可得：（6）由图5-1（f）可得：
根
据
时
移
性
和
线
性。
补充说明：题（1）（2）（3）（4）（5）可利用拉氏变换的微积分性质求解信号的拉氏变换，这样会更简便。题（5）为三角波，可以将其看做是两个窗函数相卷积而来，而窗函数的拉氏变换容易求得。再根据拉氏变换的时域卷积性质容易得到三角波的拉氏变换。
5.3利用常用函数[例如
拉普拉斯变换的性质，求下列函数f（t）的拉普拉斯变换F（s）。
等]的象函数及可
得
：
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解：（1）根据常用函数拉氏变换对得：根据时移性得：（2）根据时移性得：再根据s域平移性得：
（3）根据常用函数拉氏变换对得：
f(t)?sin(?t)????t????t?1????sin??t???t??sin[??t?1???t?1?]
根据时移性得：F（s）＝（4）根据（3）可得：（5）由
s11?1，根据拉氏变换的尺度变换性和时移性得：?(4t?2)??[4(t?)]?e2
24（6）根据常用函数傅里叶变换对得：根据时移性和尺度变换性得：
22?s?s221s3cos(3t?2)?（3t-2)=cos[3(t-)]?[3(t?)]?ge?2e3
s333()2?1s?93s3（7）f（t）可表示
为：
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www.100xuexi.com 已知所以
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又或者可以根据正弦函数的指数性质计算：
??(2t?)???1?2t???44sin?2t????e?e?4?2j???
将原式化成指数形式，计算。这样计算更简便，且不容易出错。 （8）f（t）可表示为：根据常用函数傅里叶变换对得：根据尺度变换和时移性得：
（9）根据常用函数傅里叶变换对得：根据时域积分性得：
（10）根据拉氏变换时域积分性得：再次积分得：（11）由
，根据时域微分特性得：
（12）f（t）可表示为：f?t??由
d2sin??t?dt2??t????2sin??t???t?
，得：
（13）由e?(t)??2t1，根据s域微分性得：s?2
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（14）根据常用函数拉氏变换对得：根据s域微分特性得：
（15）根据常用函数拉氏变换得：根据时移性得：
吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)配套题库【课后习题】(下册)-第5~6章【圣才出品】
