_____________高等数学_______________课程教案
授课类型 理 论 课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质 本授课单元教学目标或要求：
理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：
一、二重积分的概念
1、曲顶柱体的体积 2、平面薄片的质量 3、二重积分的定义
?f????f?x,y?d??lim?D?0i?1ni,?i???i
几何意义：若f?x,y??0,二重积分表示以z?f?x,y?为顶,以D为底的曲顶柱体的体积。如果f?x,y?是负的，柱体就在xoy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果f?x,y?在D的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy面上方的柱体体积取成正，xoy下方的柱体体积取成负，则f?x,y?在D上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质 1、【线性性】 D其中:???[??f(x,y)???g(x,y)]d??????f(x,y)d??????g(x,y)]d?DD
,?是常数。
2、【对区域的可加性】若区域D分为两个部分区域D1与D2,则
??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?DD1D2
3、若在D上, f?x,y??1,?为区域D的面积,则：
????1d????d?DD
几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
??f(x,y)??(x,y)4、若在D上,,则有不等式：Df(x,y)d?????(x,y)d?D
f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)?f(x,y)?f(x,y)D特别地,由于，有：D
5、【估值不等式】
设M与m分别是f?x,y?在闭区域D上最大值和最小值, ?是D的面积,则
m?????f(x,y)d??M??D
6、【二重积分的中值定理】
设函数f?x,y?在闭区域D上连续, ?是D的面积,则在D上至少存在一点??,??,使得
重点与难点：二重积分的概念及性质 三、讲解例题：
D??f(x,y)d??f(?,?)??【例1】估计二重积分
I???(x2?4y2?9)d?D22x?y?4。 的值, D是圆域
f?25f?922
解: 求被积函数 f(x,y)=x+4y+9在区域D上的最值：max,min,
于是有36??9?4??I?25?4??100?
【例2】比较积分
与[ln(x?y)]2d?的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点各ln(x?y)d?????DD为(1,0),(1,1),(2,0)。 解：三角形斜边方程x?y?2，在D内有1?x?y?2?e,故ln(x?y)?1, 于是
D2ln(x?y)??ln(x?y)?,因此??ln(x?y)d????[ln(x?y)]2d? 。
D本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处。
作业 P79 5(2,3)
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”
部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
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授课类型 理 论 课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：
第十章 重积分
第二节 二重积分的计算法（1） 本授课单元教学目标或要求：
熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：
一、利用直角坐标计算二重积分
如果积分区域D为X－型：?1(x)?上连续。
y??2(x)，a?x?b，?1(x)、?2(x)在区间?a,b???f?x,y?d?的值等于以D为底，以曲面z?f?x,y?为顶的曲顶柱体的体积应用计算“平
D行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得：
f(x,y)d???adx??(x)??D1b?2(x)f(x,y)dy.
如果积分区域D为Y－型：?1(y)?x??2(y),c?y?d，?1(y)、?2(y)在区间?c,d?上连续。
??Df(x,y)d???cdy??(y)f(x,y)dx 。
1d?2(y)重点与难点：确定积分区域的类型，将二重积分如何转化为二次积分。 二、讲解例题： 【例1】改变积分
?0dx?0f(x,y)dy的次序.
12x?x211?x【例2】改变积分
?0dx?0f(x,y)dy??1dx?022?xf(x,y)dy的次序.
【例3】计算
2y?x及直线y?x?2所围成的区域。 , 其中是由抛物线xyd?D??D解：(法一)D1:0?x?1,?x?y?x , D2:1?x?4,x?2?y?x
??xyd????xyd????xyd?DD1D2??dx?01x?xxyd???dx?14xx?2xyd??458
(法二)D:?1?y?2,y?x?y?2 , 【例4】求解: ?22??xyd???dy?2xydx?D?1y2y?245 82?y??xedxdy，其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形. D?e?y2dy无法用初等函数表示， ? 积分时必须考虑次序。
22?yx??edxdy??0dy?0xeD1y2?y2dx??0e1?y2y3?dy 3??0e1?y2y2212?dy?(1?). 66e注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，即要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f?x,y?的特性。
2222z?x?2yz?6?2x?y【例5】求由曲面及所围成的立体的体积。
22D:x?y?2
解:立体在xoy面的投影区域为：
23V???[(6?2x2?y2)?(x2?2y2)]d????(6?3x?3y)d?D D
???2dx??22?x22?x2?6?3x2?3y2?dy?6?
本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式
本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题 设f(x)在[0,1]上连续，并设
?10f(x)dx?A，求?dx?f(x)f(y)dy
0x11 作业
P95 1（4） 2（1，2） P96 6（3，5） 8 10
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”
部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
_____________高等数学_______________课程教案
授课类型 理 论 课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）：
第十一章 重积分
第二节 二重积分的计算法（2） 第三节 三重积分（1） 本授课单元教学目标或要求：
1． 熟练掌握二重积分在极坐标下的计算方法 2． 理解三重积分的概念
3． 掌握三重积分在直角坐标系的计算方法。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：
一、利用极坐标计算二重积分
??f(x,y)dxdy???f(?cos?,?sin?)?d?d?.
DD极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。
【情形一】D:?1(?)????2(?),?????，其中函数?1(?), ?2(?)在[?,?]上连续。
??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??????D1??2???f(?cos?,?sin?)?d?
【情形二】D:0????(?),?????，极点O在区域D的边界曲线上。
??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d????????0f(?cos?,?sin?)?d?
【情形三】D:0????(?),0???2?，极点O在区域D的内部。
??f(?cos?,?sin?)?d?d???D2?0d??????0f(?cos?,?sin?)?d?
二、三重积分的概念
三、利用直角坐标计算三重积分
若Dxy??x,y?y1?x??y?y2?x?,a?x?b，则三重积分可化为如下三次积分：
??
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