函数的周期性二级结论
【结论1】如果函数y?f(x)对于一切x∈R,都有f(a?x)?f(a?x) (?f(2a?x)?f(x)),那么函数y=f(x)的图像关于直线x?a对称?y?f(x?a)是偶函数
【结论2】如果函数y?f(x) 对于一切x∈R, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数y?f(x)的图像关于直线x=
a?b(a?x)?(b?x)（由x=确定）对称 22【结论3】如果函数y?f(x)对于一切x∈R, 都有f(a?x)?f(a?x)?2b成立, 那么函数
y?f(x)的图像关于点(a,b)对称
【结论4】两个函数图像之间的对称性
（1）函数y?f(x) 与函数y?f(?x)的图像关于直线x?0 (即y轴)对称；函数y?f(x) 与函数
y??f(x)的图像关于直线y?0; 函数y?f(x) 与函数y??f(?x)图像关于坐标原点对称。
a?b(由a?x?b?x确定)对称 2?f(x)???A?f(x)?确A（3）函数y?f(x)与函数y?A?f(x)的图像关于直线y?对称（由y?22（2）函数y?f(a?x),y?f(b?x),的图像关于直线x?定
（4）函数y?f(x)与函数y?m?f(n?x)的图像关于点(,nm)中心对称 22【结论5】左加右减（对一个x而言），上加下减（对解析式而言）：若将函数y?f(x)的图像右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图像；若将曲线f(x,y)?0的图像右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图像
【结论6】函数f(x?a)(a?0)的图像是把y?f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；函数
f(x?a)(a?0)的图像是把y?f(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到的；函数y?f(wx?a)的图
像是把y?f(wx?b)的图像沿x轴向左平移
a?b个单位得到的 w【结论7】定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T。使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)，则f(x)的最小正周期为T，T为这个函数的一个周期
【结论8】如果函数f(x)是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么f()?f(?T2T)?0 2【结论9】如果函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小
正周期，如果函数f(x)的最小正周期为T则函数f(ax)的最小正周期为
T，如果y?f(x)是周期函数，a那么y?f(x)的定义域无界
【结论10】关于函数的周期性的几个重要性质：
（1）如果y?f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x?nT)?f(x)(n?Z) （2）函数图像关于x?a,x?b轴对称?T?2(a?b) （3）函数图像关于?a,0?,?b,0?中心对称?T?2(a?b)
（4）函数图像关于x?a轴对称，关于?b,0?中心对称?T?4(a?b) （5）f(x?a)?11(f(x)?0)或f(x?a)??(f(x)?0)或f(x?a)?f(x)或f(x)f(x)1?2f(x)?f2(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?), 则f(x)的周期T=2a
（6）f(x?a)?1,(f(x)?1)，则f(x)的周期T=3a
1?f(x)1?f(x)则f(x)的周期T=4a；
1?f(x)（7）f(x?a)?（8）f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a；
（9）f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T= 6a
函数的周期性二级结论
