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高考数学一轮复习核心素养提升系列（一）函数与导数
高考压轴大题的突破问题练习新人教A版
1．(导学号14577259)(理科)(2018·湘西州一模)已知函数f(x)＝x－aln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718……
(1)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间； (2)若存在x0∈[1，e]，使得f(x0)＜g(x0)成立，求a的取值范围．
解：(1)函数h(x)＝x－aln x＋的定义域为(0，＋∞)，
h′(x)＝1－－＝.
①当1＋a≤0，即a≤－1时，
h′(x)＞0，
故h(x)在(0，＋∞)上是增函数； ②当1＋a＞0，即a＞－1时，
x∈(0,1＋a)时，h′(x)＜0；x∈(1＋a，＋∞)时，h′(x)＞0，
故h(x)在(0,1＋a)上是减函数，在(1＋a，＋∞)上是增函数． (2)由(1)令h(x0)＝f(x0)－g(x0)，x0∈[1，e]， ①当a≤－1时，
存在x0∈[1，e]，使得h(x0)＜0成立可化为
h(1)＝1＋1＋a＜0，
解得，a＜－2； ②当－1＜a≤0时，
存在x0∈[1，e]，使得h(x0)＜0成立可化为
h(1)＝1＋1＋a＜0，解得，a＜－2；
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③当0＜a≤e－1时，
存在x0∈[1，e]，使得h(x0)＜0成立可化为
h(1＋a)＝1＋a－aln(1＋a)＋1＜0，无解；
④当e－1＜a时，
存在x0∈[1，e]，使得h(x0)＜0成立可化为
h(e)＝e－a＋＜0，
解得，a＞.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪.
1．(导学号14577260)(文科)(2017·湖南娄底市名校联考)已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．
(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围；
(3)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)，且0＜x1＜x2，求证：f′＜0(其中f′(x)是f(x)的导函数)．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. (2)g(x)＝2ln x－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝
－
＋x
－
，
∵x∈，故g′(x)＝0时，x＝1.
当＜x＜1时，g′(x)＞0；当1＜x＜e时，g′(x)＜0. 故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1. 又g＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，
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