k?2个相 （自由度为零）
5、多元系的复相平衡条件：整个系统达到平衡的时候，两相中各组元的化学势必须分别相等，即?i???i?。
6、单相化学反应（所有的反应物和生成物都在同一相）：
??A?0；其化学平衡条件为：
iii???iii?0
7、道尔顿分压定律：混合理想气体的压强等于各组元的分压之和，即p??pii
8、理想气体在混合前后的焓值相等，所以理想气体在等温等压下混合过程中与外界没有热量交换。
9、偏摩尔体积、偏摩尔内能和偏摩尔熵：
??S???V???U?；；???S?n??nisi V??ni??nv??U?n?nu??i?ii??i?ii???n??iiiii??ni?T,p,nj?i?T,p,nji??ni?T,p,nj物理意义：在保持温度（T）、压强（p）和其他组元（nj）摩尔数不变的条件下，每增加1mol
的第i组元物质，系统体积（或内能、熵）的增量。
10、混合理想气体的物态方程：pV?(n1?n2???nk)RT?RT数
?n，由此可得摩尔分
iipin?i?xi。 p?nii11、混合理想气体的吉布斯函数G?能U??n???nRT??iiiiii?ln(xip)?，混合理想气体的内
?n??ciivi，混合理想气体的熵dT?ui0（混合理想气体的内能等于分内能之和）
??c?S??ni??pidT?Rln(xip)?si0?
i?T?统计物理学部分
第六章 近独立粒子的最概然分布
1、粒子的能量是粒子的广义坐标和广义动量的函数???(q1,q2,..,qr;p1,p2,..pr)，某一时刻粒子的运动状态(q1,q2,...,qr;p1,p2,....,pr)可以用?空间的一点来表示，注意，粒子在?空间的轨迹并不是粒子的实际运动轨迹。 2、自由粒子自由度3，相空间维数6，能量（球）??122(px?py?pz2)；线性谐振子自2mp21?m?2x2；由度1，相空间维数2，能量（椭圆）??（长度一定轻杆连接质点）转子2m2M2自由度2，空间维数4，能量 ??。
2I
6
3、粒子运动状态的量子描述： E?h?；P?hk（德布罗意关系）
4、粒子的自由度为r，各自由度的坐标和动量的不确定值?qi和?pi满足海森伯不确定关系
?qi?pi?h，相格的大小为?q1??qr?p1??pr?hr。粒子的微观状态数：
dq1dq2...dqrdp1dp2...dpn；对于被限制在体积V内的三维自由粒子：在动量P?dP范围内
hr4?Vp2dp的微观状态数为（不考虑粒子自旋）;；在面积h3L2运动的二维自由粒子则为
p22?L2pdp2Ldp，在长度L内运动的自由粒子则为，利用自由粒子??，可得三种情222mhh况??d?范围内的状态数即态密度。若为经典描述，把普朗克常数h改为待定常数h0即可。 5、近独立粒子系统：系统中粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒
子的平均能量，忽略粒子之间的相互作用，系统的能量就简单地认为是单个粒子的能量之和。 6、经典物理：全同粒子可以分辨，可以跟踪粒子的轨道运动轨迹；量子物理：全同粒子不可分辨，不可能跟踪粒子的运动（不确定关系）。
7、费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子，如：电子、质子、中子等。不可分辨，受泡利不相容原理的限制，一个量子态最多能容纳一个费米子。玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子，如：光子、?介子等，不可分辨，不受泡利不相容原理的限制，一个量子态能容纳多个玻色子
8、玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，不满足泡利不相容原理，一个量子态可容纳多个粒子。
对三个粒子两个能级体系，有9个不同的量子态；
玻色系统：粒子不可以分辨，不满足泡利不相容原理，有6个不同的量子态； 费米系统：粒子不可以分辨，满足泡利不相容原理，有3个不同的量子态。
9、统计物理的根本问题：确定各微观状态出现的概率；宏观状态量是相应微观物理量的统计平均值。
10、等概率原理：对于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的，等概率原理是统计热力学的基本原理。 11、玻耳兹曼分布：al??le????l；玻色分布：al??le????l?1；费米分布：al??le????l?1
第七章 玻耳兹曼统计
1、内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值，其统计表达式为：
U??N?lnZ1，其中配分函数Z1???le???l，N?e??Z1。配分函数改为积分的形式??l即为Z1?e????(p,q)dq1...dqrdp1...dpr
hr??2、（玻耳兹曼系统）熵的统计表达式：S?Nk??lnZ1??1????，其中；玻耳兹lnZ1??kT???曼关系式：S?kln?，该关系对玻色或费米系统同样成立。熵的统计物理意义：熵是系统
7
混乱度的量度，某个宏观状态对应的微观状态数越多，它的混乱度就越大，熵就越大。 3、理想气体的物态方程：p?N?NkTlnZ1? ??VV?4、气体满足经典极限条件（非简并条件）：e??1，或al??l，或
e???n(h2m?kT)3?n?3??1 即要求（1）气体要稀薄；（2）温度要高；（3）分子
的质量m要大。
2y?vz)m3/2?2kT(vx2?v2)edvxdvydvz； 5、麦克斯韦速度分布：f(vx,vy,vz)dvxdvydvz?n(2?kTm麦克斯韦速率分布，单位体积处于速率v?dv范围的分子数为：
m3/2?2kTv22fdv?4?n()evdv，n为分子数密度。可通过对速率分布函数的一阶
2?kT导数为零，导出最概然速率（分子处于该速率的几率最大）
从麦克斯韦速率分布可知，每个分子处于速率v?dv范围的概率为
mf(v)dvm3/2?2kTv22?4?()evdv，从而可推得分子的平均速率，和方均根速率（速率n2?kT平方的平均值，再开根） 6、最概然速率：vm?m8kT3kT2kT；平均速率：v?；方均根速率：vs?
?mmm1nv 47、单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数（碰壁数）：??8、能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的
13kT。根据能量均分定理，单原子分子的平均能量为??kT，双原225子分子的平均能量??kT【平动能+转动能+0振动能（相对运动动能+相对运动势能）】。
2平均值的平均值等于
9、应用能量均分定理研究双原子气体分子的热容量所遇到的困难，如常温下，双原子的相对振动对热容没有贡献，不能给予解释。只有量子理论才能得到合理解释，是因在常温下，振动能级间隔远大与热运动平均能量（振动特征温度远大于常温），即h???kT，外界提供的能量远小于发生跃迁所需的能量，因而绝大多数振子被冻结在基态，不会吸收热量，从而对热容量没有贡献。一般温度下，固体或原子分子中的电子对热容量没有贡献，也是类似的道理。
第八章 玻色统计和费米统计
1、当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
8
2、巨配分函数：????l???1?e?????lll???l
3、熵与微观状态数的关系：S?kln???N??U?kln? 4、巨热力势和巨配分函数的关系：J??kTln?
5、当理想玻色气体的n??2.612的临界值的时候将会出现玻色－爱因斯坦凝聚现象（温度低于凝聚温度时，有宏观量级的玻色子凝聚在能量为零的状态）。 6、光子气体 特征1：自旋量子数为1；
特征2：所有光子速度均为常数c，具有极端相对论的能量动量关系； 特征3：光子系统的总粒子数不固定；因而??0 能量动量关系：??cp（用德布罗意关系证明：??h??h3??c??ch??cp）
根据玻色分布，在能级?上，或说光子具有? 能量时，平均每个量子态的光子数
f(?)?1?e???11?
ekT?1作为三维自由粒子，光子能量为?时的简并度或量子态为
gdxdydzdpxdpydpzh3?g4?Vp2dph3?8?Vp2dph3（考虑了自旋在动量方向的两个投
影），根据，??cp?h?,可容易推得在??d?或??d?范围的量子态数，乘上每个量子态的平均光子数及每个光子能量，再积分可求得内能
V??3d? 7、辐射场普朗克公式：U(?,T)d???D(?)d??23??/kT?ce?18、普朗克假说：能量是一份份传播的，即能量量子化，每一份光子的能量为h?，称为能
量子，这是物理革命性的飞跃。
9、光子气体（极端相对论粒子）状态方程：p?1U 3V10 自由电子气体
根据费米分布，在能级?上，或说电子具有? 能量时，平均每个量子态的电子数为
f(?)?1e?????1?e1???kT，可类似光子气体的讨论，自由电子能量为?时的简并度
?1或量子态为
gdxdydzdpxdpydpzh3?g4?Vp2dph3?8?Vp2dph3（考虑了自旋在动量方向
p2的两个投影），根据，??，可容易推得在??d?范围的量子态数，乘上每个量子态的
2m平均电子数及每个电子子能量，再积分可求得内能
9
由于受包利不相容原理的影响，电子的分布分为0K和大于0K 的情况讨论 T?0K时
???(0)f?0???(0)f?1
?(0)所以，0K时，电子最大能量为电子化学势，也称为费米能级，根据N??D(?)f(?)d?，
0可求得0K时的化学势， 由自由粒子的能量动量关系，可相应求得费米动量 根据指数函数的特征，容易推得T?0K时
f?12??????f?12???f?12
第九章 系综理论
1、 统计热力学的基本原理是：等概率原理；
宏观体系的性质是微观性质的综合体现； 体系的热力学量等于其微观量的统计平均。
由微观量求取宏观量的基本手段：系综理论，可适用有相互作用体系 2、 微正则系综：无数宏观上完全相似的体系的集合，体系与环境之间没有物质和能量的交换；（孤立系统的集合，N、E、V不变）
正则系综：无数宏观上完全相似的体系的集合，体系与环境只有热量的交换，没有功和物质的交换；（封闭系统的集合，N，V，T不变）
巨正则系综：无数宏观上完全相似的体系的集合,体系与环境之间既有物质也有能量的交换。（开放系统的集合，V、T、?不变）
3、刘维尔定理：系统从初态出发沿着正则方程确定的轨道运动，概率密度?在运动中不随时间改变，即
d??0。 dt4、等概率原理的量子表达式：?s?1?。
5、几率归一化条件：因为体系在任何时间均一定会处于某一微观运动状态，所以，体系的所有可达微观运动状态出现的几率之和应等于1。即
??(q,p,t)d??1。
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