勾股定理解题技巧专题：勾股定理与面积问题
◆类型一 三角形中利用面积法求高
1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为( ) 801360A.cm B．13cm C.cm D.cm 13213
2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________．
◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．11cm2
4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( ) A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm
5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
◆类型三 巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
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7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】
◆类型四 利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.
9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ的面积为________．
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参考答案与解析
1．D
2.
3
5 解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC5
111931
＝3×3－×2×1－×2×1－×3×3－1＝9－1－1－－1＝，AB＝12＋22＝5，∴
22222233535
×5h＝，∴h＝.故答案为.
255
3．D 4.D 5.C 6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝52＋122＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，∴AE11
＝AD＝×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝AC2－AE2＝132－52＝12.∴S四边形
22
ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝
1111
AB·BC＋AD·CE＝×5×12＋×10×12＝90. 2222
7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝AE2－AB2＝82－42＝43.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝
90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝CE2－DC2＝42－22＝23.∴S
1111
BE－CD·DE＝×4×43－×2×23＝63. 四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝AB·22228．81
9．110 解析：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，易证四边形AOLP是矩形，OK＝BE＝3.∵∠CBF＝90°，∴∠ABC＋∠OBF＝90°.又∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∠BAC＝∠FOB，??
∴∠OBF＝∠ACB.在△ACB和△OBF中，?∠ACB＝∠OBF，∴△ACB≌△OBF(AAS)．同
??BC＝FB，理：△ACB≌△PGC≌△LFG≌△OBF，∴KO＝OF＝LG＝3，FL＝PG＝PM＝4，∴KL＝3
＋3＋4＝10，LM＝3＋4＋4＝11，∴S矩形KLMJ＝KL·ML＝10×11＝110.
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