2019-2020学年高三数学 2.6函数应用复习学案
【高考目标导航】 一、函数与方程 1、考纲点击
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。 2、热点提示
（1）函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容，在近年的高考中一定有所体现。 （2）本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，不排除与其他知识，在知识交汇处命题。
二、函数模型及其应用 1、考纲点击
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 2、热点提示
（1）函数的模型及其应用是考查重点。
（2）现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长、减少问题，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。
（3）题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解答题为主。 【考纲知识梳理】 一、函数与方程 1、函数的零点
（1）函数零点的定义 对于函数
y?f(x)?x?D?y?f(x)?x?D?，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数的零
点。
（2）几个等价关系
y?f(x)?x?D?方程f(x)?0有实数根?函数的图象与x轴有交点?函数y?f(x)?x?D?有零点
注：①函数的零点不是函数
y?f(x)?x?D?与x轴的交点，而是
y?f(x)?x?D?与x轴
的交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。
y?f(x)?x?D?②并非任意函数都有零点，只有f(x)?0有根的函数才有零点。
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数
y?f(x)?x?D?在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)f(b)?0，那么函数y?f(x)?x?D?在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b），
使得f(c)=0，这个c也就是f(x)?0的根
注：在上面的条件下，（a,b）内的零点至少有一个c，还可能有其他根，个数不确定。
2f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象与零点的关系 2、二次函数
3、二分法
（1）二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a,b],验证f(a)f(b)?0，给定精确度?； 第二步，求区间（a,b）的中点第三步，计算①若②若
x1；
f(x1)：
f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
f(a)f(x1)?0，则令b?x1（此时零点x0?(a,x1)）
；
③若
f(x1)f(b)?0，则令a?x1（此时零点x0?(x1,b)）
；
第四步，判断是否达到精确度?：即若第二、三、四步。 二、函数模型及其应用
1、几类函数模型及其增长差异 （1）几类函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 a?b??，则得到零点近似值a（或b）；否则重复
f(x)?ax?b(a,b为常数,a?0) f(x)?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0) f(x)?bax?c(a,b,c为常数，a?0且a?1) f(x)?blogax?c(a,b,c,为常数a?0且a?1) f(x)?axn?b(a,b为常数，a?0) xn（2）三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数y?a(a?1)与幂函数y?x(n?0)
xnx0,????axanax在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内会小于，但由于的
增长快于x的增长，因而总存在一个
nx0，当x?x0时，有ax>xn。
ny?logx(a?1)y?xa②对数函数与幂函数（n?0）
ny?logx(a?1)y?xana对数函数的增长速度，不论与值的大小如何总会慢于的增长速nxx?xlogx?x00a度，因而在定义域内总存在一个实数，使时有。
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个
xn0,???x?x?xa?x?logax 00档次上，因此在上，总会存在一个，使时有
2、解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。 以上过程用图表示如下：
3、解函数应用问题常见的错误：
（1）不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； （2）在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件。 【热点、难点精析】 （一）函数与方程 1、零点的判定 ○相关链接○
（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。 （2）用定理：零点存在性定理。
x注：如果函数y?f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且0是函数在这个区间上的
一个零点，但f(a)f(b)?0不一定成立。
（3）利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y?f(x)，y?g(x)图象，其交点的横坐标是f(x)?g(x)的零点。
○例题解析○
〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。 f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]
分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。 解答：（1）方法一：
∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)·f(8)<0,
故f(x)=x2-3x-18, x∈[1,8]存在零点 方法二：
令f(x)=0得x2-3x-18=0，x∈[1,8]。 ∴ (x-6)(x+3)=0,
∴x=6∈[1,8],x=-3?[1,8],
∴f(x)=x2-3x-18, x∈[1,8]存在零点
（2）方法一：∵f(1)=log23-1>log22-1=0,f(3)=log25-3 方法二：设y=log2(x+2),y=x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1?x?3时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点。 2、函数零点个数的判定 ○相关链接○ 函数零点个数的判定有下列几种方法： 直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； 零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0。还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点。 画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。 ○例题解析○ f(x)?4x?x2?判断函数 23x3在区间??1,1?上零点的个数，并说明理由。 ??1,1?上的单调性?函数零点个数。 分析：求f(1),f(?1)的值?判断函数在 解答： 27213???0,f(1)?4?1???03333?f(x)在??1,1?上有零点。f(?1)??4?1?91?2(x?)2,229当?1?x?1时，0?f?(x)?，2?f(x)在??1,1?上是单调递增函数，又f?(x)?4?2x?2x2??f(x)在??1,1?上有只有一个零点。3、与二次函数有关的零点分布问题 ○相关链接○ 2x,xax?bx?c?0(a?0)的两实根，12设是实系数一元二次方程下面为几类常见二次函数 零点分布情况需满足于的条件： 根的分布（m?n?p且图象 满足的条件 m,n,p均为常数）
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