最全的极值点偏移系列
极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 极值点偏移问题专题（2）——函数的选取（操作细节） 极值点偏移问题专题（3）——变更结论（操作细节） 极值点偏移问题专题（4）——比值代换（解题方法） 极值点偏移问题专题（5）——对数平均不等式（本质回归） 极值点偏移问题专题（6）——泰勒展开（本质回归） 极值点偏移问题专题（7）——好题精选一题多解23例
极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）
例1已知函数f?x??2lnx?x?x，若正实数x1，x2满足f?x1?+f?x2?=4，
2求证:x1?x2?2。
证明：注意到f?1?=2，f?x1?+f?x2?=2f?1?
f?x1?+f?x2?=2f?1?
2f??x?=+2x?1?0
x2f???x?=?2?2，f???1?=0，则（1,2）是f?x?图像的拐点，若拐点（1,2）也是f?x?的
x对称中心，则有x1?x2=2，证明x1?x2?2则说明拐点发生了偏移，作图如下
想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设0?x1?1?x2，要证
x1?x2?2?x2?2?x1?1 ?f?x2??f?2?x1??4?f?x1??f?2?x1?
?4?f?x1??f?2?x1?F?x??f?x??f?2?x?，x??0,1?，则
F??x??f??x??f??2?x??2??2? ???2x?1????2?2?x??1??x??2?x???1?4?1?x???1?x?2?x????0，
??得F?x?在?0,1?上单增，有F?x??F?1??2??1??4，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移（f??x0??0）
二次函数f?x1??f?x2??x1?x2?2x0 2、拐点偏移f???x0??0
??f?x1??f?x2??x2?2x0?x1?x1?x2?2x0f?x1??f?x2??2f?x0??x1?x2?2x0
f?x1??f?x2??2f?x0??x2?2x0?x1?x1?x2?2x0
极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路）
例1（2010天津）
已知函数f?x??xe．
?x（1）求函数f?x?的单调区间和极值；
（2）已知函数g?x?的图像与f?x?的图像关于直线x?1对称，证明：当x?1时，
f?x??g?x?；
（3）如果x1?x2，且f?x1??f?x2?，证明：
x1?x2?2．
点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：
?x例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f?x??xe，已知f?x1??f?x2?，x1?x2，
证明x1?x2?2．
再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1）x1，x2的范围?0?x1?1?x2?； （2）不等式f?x??f?2?x??x?1?；
（3）将x2代入（2）中不等式，结合f?x?的单调性获证结论． 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题．
例2（2016新课标Ⅰ卷）已知函数f?x???x?2?e?a?x?1?有两个零点．
x2（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是f?x?的两个零点，证明：x1?x2?2．
解：（1）?0,???，过程略； （2）由（1）知f?x?在???,1?上
，在?1,???上
，由f?x1??f?x2??0，可设
x1?1?x2．
构造辅助函数F?x??f?x??f?2?x?
??x?1??ex?2a???1?x??e2?x?2a? ??x?1??ex?e2?x?当x?1时，x?1?0，e?exF??x??f??x??f??2?x?2?x则F??x??0，得F?x?在???,1?上?0，，又F?1??0，
故F?x??0?x?1?，即f?x??f?2?x??x?1?．
将x1代入上述不等式中得f?x1??f?x2??f?2?x1?，又x2?1，2?x1?1，f?x?在
?1,???上
，故x1?2?x1，x1?x2?2．
通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解． 但极值点偏移问题的结论不一定总是x1?x2????2x0，也可以是x1x2????x0，借鉴前面
2的解题经验，我们就可给出类似的过程．
例3 已知函数f?x??xlnx的图像与直线y?m交于不同的两点A?x1,y1?，B?x2,y2?，求证：x1x2?1． e2??1?e?，在?,???上
证明：（i）f??x??lnx?1，得f?x?在?0,?上
?1?e??；当0?x?1时，
；f?x??0；f?1??0；当x?1时，f?x??0；当x?0?时，f?x??0（洛必达法则）当x???时，f?x????，于是f?x?的图像如下，得0?x1?1?x2?1． e
极值点偏移问题专题(一)
