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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分）
（1）若函数
?1?cosx,x?0,?在x?0处连续，则（ ） f(x)??ax?b,x?0?(A)ab?11。 (B)ab??。 22(C)ab?0。 (Dab?2。
【答案】(A)
【解】
f(0?0)?lim1?cosx1?，f(0)?f(0?0)?b，
x?0?ax2a因为
f(x)在x?0处连续，所以f(0?0)?f(0)?f(0?0)，从而ab?f(x)可导，且f(x)?f?(x)?0，则（ ）
1，应选(A)。 2（2）设函数
(A)f(1)?f(?1)。 (B)f(1)?f(?1)。 (C)|f(1)|?|f(?1)|。 (D)|f(1)|?|f(?1)|。
【答案】(C) 【解】若若
f(x)?0，则f?(x)?0，从而f(1)?f(?1)?0；
f(x)?0，则f?(x)?0，从而f(1)?f(?1)?0，故|f(1)|?|f(?1)|，应选(C)。
f(x,y,z)?x2y?z2在点(1,2,0)处沿向量n?{1,2,2}的方向导数为（ ）
（3）函数
(A)12。 (B)6。 (C)4。 (D)2。
【答案】(D)
【解】
?f?f?f?x2，?2xy，?2z， ?y?x?z?f?f?f|(1,2,0)?1，|(1,2,0)?4，|(1,2,0)?0， ?y?x?z122cos??,cos??,cos??，所求的方向导数为
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12|(1,2,0)?4??1??2，应选(D)。
33?n（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线v（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?f?v1(t)?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开
始后乙追甲的时刻为t0（单位：s），则（ ）
(A)t0?10。 (B)15?t0?20。 (C)t0?25。 (D)t0?25。
【答案】 【解】
（5）设?为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ）
(A)E???T不可逆。 (B)E???T不可逆。 (C)E?2??T不可逆。 (D)E?2??T不可逆。
【答案】(A)
【解】令令
A???T，A2?A，
AX??X，由(A2?A)X?(?2??)X?0得?2???0，??0或??1，
??T??1??1????n得A的特征值为?1????n?1?0,?n?1，
因为tr(A)E???T的特征值为?1????n?1?1,?n?0，从而|E???T|?0，
即E???T不可逆，应选(A)。
?200??210??100???????A?021,B?020,C?020（6）已知矩阵??????，则 （ ）
?001??001??002???????(A)A与C相似，B与C相似。 (B)A与C相似，B与C不相似。 (C)A与C不相似，B与C相似。(D)A与C不相似，B与C不相似。
【答案】(B) 【解】
A,B,C的特征值为?1??2?2,?3?1，
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?000???由2E?A??00?1?得r(2E?A)?1，则A可相似对角化，从而A~C；
?001????0?10???00?得r(2E?B)?2，则B不可相似对角化，从而B与A,C不相似，应选由2E?B??0?001???(B)。
（7）设
A,B为随机事件，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，则P(A|B)?P(A|B)的充要条件是
（ ）
(A)P(B|A)?P(B|A)。 (B)P(B|A)?P(B|A)。 (C)P(B|A)?P(B|A)。 (D)P(B|A)?P(B|A)。
【答案】(A)
【解】由P(A|B)?P(A|B)得
P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)，等价于 ??P(B)1?P(B)P(B)P(AB)?P(A)P(B)； P(B|A)?P(B|A)等价于
应选(A)。
P(AB)P(B)?P(AB)?，即P(AB)?P(A)P(B)，
P(A)1?P(A)1n（8）设X1,X2,?,Xn（n?2）为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xini?1结论不正确的是（ ）
，则下列
(A)?(Xi??)2i?1nn服从?分布。
2(B)2(Xn?X1)2服从?2分布。
(C)?(Xi?X)2i?1服从?分布。
2(D)n(X??)2服从?2分布。
【答案】(B)
【解】若总体
X~N(?,?2)，则
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1?2?(Xi?1ni??)~?(n)，
n221?2?(Xi?1ni?X)2~?2(n?1)，
n因为总体
X~N(?,1)，所以?(Xi??)~?(n)，?(Xi?X)2~?2(n?1)，
22i?1i?1再由
1X??X~N(?,)得?n(X??)~N(0,1)，从而n(X??)2~?2(1)，
1nn不正确的是(B)，应选(B)。
二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分） （9）设
f(x)?11?x2，则
f(8)(0)?_______。
【答案】8! 【解】
f(x)?124688?1?x?x?x?x?o(x)， 21?x由
f(8)(0)?1得f(8)(0)?8!。 8!y???2y??3y?0的通解为y?________。
（10）微分方程【答案】e?x(C1cos2x?C2sin2x)
2【解】特征方程为?通解为
?2??3?0，特征值为?1,2??1?2i，
y?e?x(C1cos2x?C2sin2x)。
（11）若曲线积分
xdx?aydy?Lx2?y2?1在区域
D?{(x,y)|x2?y2?1}内与路径无关，则
a?_______。 【答案】?1
【解】P?xay,Q??，
x2?y2?1x2?y2?1，
?P2xy??2?y(x?y2?1)2?Q2axy?2?x(x?y2?1)2，
因为曲线积分与路径无关，所以a（12）幂级数
??1。
?(?1)n?1?n?1nxn?1在区间(?1,1)内的和函数为________。
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【答案】
1(1?x)2?。
【解】S(x)??(?1)n?1n?1nxn?1??(?(?1)nxn)???(n?1??x1)??1?x(1?x)2。
?101???A?112（13）矩阵??，?1,?2,?3为线性无关的三维列向量组，则向量组A?1,A?2,A?3的
?011???秩为________。 【答案】2
【解】(A?1,A?2,A?3)?A??1,?2,?3?，
因为?1,?2,?3线性无关，所以从而r[(A?1,A?2,A?3)]??1,?2,?3?可逆，
?r(A)，
?101???由A??011?得r(A)?2，故向量组A?1,A?2,A?3的秩为2。
?000???（14）设随机变量
X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(?______。
x?4)，其中?(x)为标准正态分布的2分布函数，则EX【答案】2 【解】
X的密度为f(x)?0.5?(x)?0.25?(????x?4)， 2??EX??xf(x)dx?0.5?x?(x)dx?0.25?x?(????????x?4)dx 2????x?4x?4x?4??(?2)?()d()??(x?2)?(x)dx?2??(x)dx?2。
??????222三、解答题（15~23题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 （15）（本题满分10分）
设函数
d2ydyf(u,v)具有二阶连续的偏导数，y?f(e,cosx)，求|x?0，2|x?0。
dxdxx【解】
dydy?exf1??sinx?f2?，|x?0?f1?(1,1)； dxdx5精品文档，欢迎下载！
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