初二年级秋季数学竞赛讲义
【巩固】求方程13x?30y?4的整数解。 【拓展】
1、三元一次方程x?y?z?3的非负整数解的个数为 个。
2、某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位组成的数与后五位组成的数相加的16970，求此人家的电话号码。
◆例3：求方程xy?x?y的整数解。
【巩固】方程x?y?105的正整数解的组数有多少？
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22 初二年级秋季数学竞赛讲义
◆例4：有一个正整数，加上100，则为一完全平方数；如果加上168，则为另一个完全平方数，求此数。
【巩固】一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44，仍是一个完全平方数，求这个自然数。
◆例5：方程
111??的整数解的个数为（ ） xy1993A.0个 B.3个 C.5个 D.无数个
【巩固】方程
111??的整数解的组数是（ ） xy4A. 6 B.7 C.8 D.9 【拓展】
1、求方程x?y?x?xy?y的整数解。 2、求方程
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221115???的正整数解。 xyz6 初二年级秋季数学竞赛讲义
【课后练习】
1、已知x,y,z满足x?y?5及z2?xy?y?9，则x?2y?3z?_____________ 2、满足方程y4?2x4?1?4x2y的所有整数解为（x,y）为_______________. 3、方程x2?xy?100?0的正整数解的组数是（ ） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 4、三元方程x?y?z?1999的非负整数解的个数是（ ）
A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个 5、方程
111??的整数解的组数是________. xy36、求除以7余5，除以5余2，除以3余1的所有三位数中的最小正整数为______________. 7、求方程13x?30y?4的整数解
8、购买5种数学用品A1,A2,A3,A4,A5的件数和用钱总数列成下表：
件数 品 名 A1, 1 1 A2 3 5 A3 4 7 A4 5 9 A5 6 11 总钱数 1992（元） 2984（元） 第一次购件数 第二次购件数 则5种数学用品各买一件共需多少元？
9、求满足
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111??且使y最大的正整数x。 xy12 初二年级秋季数学竞赛讲义
第11讲：因式分解的方法
【知识梳理】 一、因式分解的意义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。其中每一个整式叫做积的因式。 二、因式分解的方法
1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。
2、一些复杂的因式分解的方法：
（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。 （3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。配方法则是一种特殊的拆项、添项法。
（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。 （5）常用的公式：
平方差公式：a2?b2??a?b??a?b?； 完全平方公式：a2?2ab?b2??a?b?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2立方和（差）公式：a?b??a?b?a?ab?b332?2?； ?；
a?b??a?b?a?ab?b332?2学习热线：0731-28470818 27588868 27588828 湖南奥数网：www.hnaoshu.com
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初二年级秋季数学竞赛讲义
完全立方公式：a3?3a2b?3ab2?b3??a?b?；
3 a3?3a2b?3ab2?b3??a?b?。
3【例题精讲】
◆例1：（1）4x（a－b）＋（b2－a2）；
（3）x4＋2x2－3；
（5）x3－2x2－3x； （6）4a2－b2＋6a－3b；
（7）a2－c2+2ab+b2－d2－2cd （8）a2－4b2－4c2－8bc
◆例2：分解因式：
（1）x4?x2?4x4?x2?3?10； （2）?x?1??x?2??x?3??x?6??x；
2
（2）（a2＋b2）2－4a2b2；
（4）（x＋y）2－3（x＋y）＋2；
????（3）1999x?1999?1x?1999。
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2?2?
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)
