初二年级秋季数学竞赛讲义
【课后练习】
1、汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，?则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（ ? ）
A、S＝120－30t（0≤t≤4） C、S＝120－30t（t>0）
B、S＝30t（0≤t≤4）
D、S＝30t（t＝4）
2、图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离．．(y)与时间(x)之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ）
3、函数y?y Ｏ 图1 x A
B C D
x?21?x?3自变量x的取值范围为___________________；
4、如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下图的四种底面积相同的容器中，
O 甲．
t O 乙．
t O 丙．
t O 丁．
t h （1）
（2）
h （3）
h （4）
h 下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度h和时间t的函数关系图象：
A．（1）～甲，（2）～乙，（3）～丁，（4）～丙 B．（1）～乙，（2）～甲，（3）～丁，（4）～丙 C．（1）～乙，（2）～甲，（3）～丙，（4）～丁 D．（1）～丁，（2）～甲，（3）～乙，（4）～丙
5、平面直角坐标系内，点A（n，1－n）一定不在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 6、若P(a＋b，－5)与Q(1，3a－b)关于原点对称，则（a＋b）(a－b)的值为 ；
6、已知点P（3p－15，3－p）在第三象限，如果其坐标为整数点，求点M的坐标。
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初二年级秋季数学竞赛讲义
第4讲 一次函数（一）
姓名：
【知识梳理】
一、一次函数和正比例函数的概念：
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数. 二、一次函数的图象：
由于一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点、直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（－
b，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y＝kx的图象时，只要描出点（0，0），k（1，k）即可.
三、一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的性质： （1）k的正负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b＝0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图11－18（1）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y＝x＋1可以看作是正
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初二年级秋季数学竞赛讲义
比例函数y＝x向上平移一个单位得到的． 四、正比例函数y＝kx（k≠0）的性质： （1）正比例函数y＝kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 五、用函数的观点看方程与不等式：
（1）方程2x＋20＝0与函数y＝2x＋20观察思考、二者之间有什么联系？ 从数上看：方程2x＋20＝0的解，是函数y＝2x＋20的值为0时，对应自变量的值
从形上看：函数y＝2x＋20与x轴交点的横坐标即为方程2x＋20＝0的解关系、由于任何一元一次方程都可转化为kx＋b＝0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为、当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b确定它与x轴交点的横坐标值．
?y?kx?b（2）解关于x、y的方程组?，从“数”的角度看，?相当于考虑当自变量为何值时两个函
y?mx?n?数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的交点坐标。两条直线的交点坐标，?就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。
（3）解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围． 解关于x的不等式kx＋b>mx＋n可以转化为：
当自变量x取何值时，直线y＝（k－m）x＋b－n上的点在x轴的上方，或（2）求当x取何值时，直线y＝kx＋b上的点在直线y＝mx＋n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）
【例题精讲】
◆例1：已知一次函数y=kx+b,kb<0，则这样的一次函数的图象必经过第 象限. 【巩固】
1、一次函数y?mx?n的图象如图，则下面结论正确的是（ ）
A、m?0,n?0 C、m?0,n?0
B、m?0,n?0 D、m?0,n?0
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初二年级秋季数学竞赛讲义
2、若直线y?kx?b经过点A（m，－1），B（1，m）（其中m??1），则这条直线不经过第 象限。
【拓展】已知abc≠0，并且
a+bb+cc+a===p，那么y=px+p一定经过( ) cabA.第一、二象限 B.第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限
◆例2：若直线y＝kx＋6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？
【巩固】过点P（?1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作几条？
【拓展】设直线kx?(k?1)y?1（k是正整数）与两坐标轴所围成的图形的面积为S1、S2、S3、?、
S2000则S1?S2?????S2000? ；
◆例3：如图所示，直线y＝x＋2与x轴交于点A，直线y＝－2x＋6与x轴交于点B，且两条直线的交点为P，试求出△PAB的面积？
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yy=－2x+6PAOBy=x+2x 初二年级秋季数学竞赛讲义
【巩固】
1、如图，在直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线y=形OABC分成面积相等的两部分，那么b=
1x+b恰好将长方3yCOAB(15,6)
x2、如图所示，已知直线y＝x＋3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．
【拓展】若直线y?kx?k?1和直线y?(k?1)x?k（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk，则S1?S2?S3???S2008值为___________.
◆例4：一次函数y?k1x?b与一次函数y?k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列结论：①k1＞0，b＜0；②k2＞0；③关于x的不等式k1x?b?k2x的解集是x??1；④关于x、y的
?y?k1x?b?x??1二元一次方程组?的解为?；其中正确的结论有____________.
y?kxy??2?2?
y y?k2x
?1
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O?2 x
y?k1x?b
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初二数学竞赛辅导资料（共12讲）
