初二年级秋季数学竞赛讲义
【课后练习】
1、比较大小：5?11
2、设a、b是正有理数，且满足(3a?2)a?(3b?2)b?2?253?0，求ab的值。
3、设(2?3)的整数部分为x，小数部分为y，试求x?y(y?22)的值。
4、已知9?13与9?13的小数部分分别是a、b，求ab－3a＋4b＋8的值。
5、已知a、b为有理数，x、y分别表示5?7的整数部分和小数部分，且axy?by?1，求a＋b的值。
6、证明3是无理数。(*)
226?10
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初二年级秋季数学竞赛讲义
第3讲 平面直角坐标系、函数
【知识梳理】
1、平面直角坐标系：是在数轴的基础上，为了实际问题的需要而建立起来的。是学习函数的基础，数形结合是本节最显著的特点。
2、坐标平面内任意一点P，都有唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；反过来，对于任何一对有序实数（x，y），在平面内都有唯一的点P和它对应。与点P相对应的有序实数对（x，y）叫做点P的坐标。
3、平面直角坐标系内的点的特征
（1）若点P（x，y）在第一象限内?????x?0?x?0；（2）若点P（x，y）在第二象限内? ????y?0?y?0?x?0?x?0（3）若点P（x，y）在第三象限内? ；（4）若点P（x，y）在第四象限内? ??????y?0y?0?????（5）若点P（x，y）在x轴上?4、对称点的坐标特征
（1）点P（x，y）关于x轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P（x，－y） （2）点P（x，y）关于y轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P（－x，y） （3）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P（－x，－y） 5、函数的有关定义
（1）函数的定义、在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于每一个x确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则x是自变量，y是的函数。
（2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。 6、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以 （1）使分母不为零；
（2）开平方时被开方数为非负数； （3）为整式时其自变量的范围是全体实数；
另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
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?x为任意实数?x?0??? ；（6）若点P（x，y）在y轴上?
?y?0?y为任意实数 初二年级秋季数学竞赛讲义
【例题精讲】
◆例1：若点M（1＋a，2b－1）在第二象限，则点N(a－1，1－2b)在第 象限； 【巩固】
1、点Q（3－a，5－a）在第二象限，则a2?4a?4?a2?10a?25＝ ； 2、若点P（2a＋4，3－a）关于y的对称点在第三象限，求a的取值范围为 ；
◆例2：方程组?
【巩固】已知点M（a、b）在第四象限，且a、b是二元一次方程组?关于坐标原点的对称点M'的坐标。
◆例3：在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、4
【拓展】在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0）、B(0，10)、
C(－10，0)、D(0，－10)，则该正方形内及边界上共有_______个整点（即横纵坐标都是整数的点）
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?x?y?2的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内，求m的取值范围
?mx?y?3?4x?3y?1的解，求点M
?7x?6y??32 初二年级秋季数学竞赛讲义
◆例4：求下列函数中自变量的取值范围、
(1)y?2x2?3x?5(3)y?(5)y?
2x?4x?1?36?2x3xx?4x(4)y?2?x?3(2)y?(6)y?x2?6x?10
◆例5：如图，在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m，求鸡场的一边长y （m）与另一边长x （m）的函数关系式，并求自变量的取值范围。 【巩固】
1、求下列函数中，自变量x的取值范围： ①y?
2、周长为10cm的等腰三角形，腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式是______________；自变量x的取值范围为_________________．
【拓展】若函数y＝
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x
y
11?x； ②y?1?x6?x； ③y?
|x|?2x?x?21x?2x?c2的自变量x的取值范围为一切实数，求c的取值范围。
初二年级秋季数学竞赛讲义
◆例6：已知函数y?3?x?2的图像如图所示，求点A、B的坐标。
【巩固】若点P（x，y）在函数y?yBOAx1??x的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（ ） 2xA．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
◆例7：一个装有进出水管的水池，单位时间内进、出水量都是一定的．已知水池的容积为800 升，又知单开进水管20分钟可把空水池注满；若同时打开进、出水管，20分钟可把满水池的水放完，现已知水池内有水200升，先打开进水管3分钟，再打开出水管，两管同时开放，直至把水池中的水放完，则能确定反映这一过程中水池的水量Q（升）随时间t（分钟）变化的函数图象是（ ）
Q（升） 320 200 320 200 3 8 t（分钟）
Q（升） Ｏ Ｏ 3 11 t（分钟）
Ａ． Ｂ． Q（升） Q（升） 320 200 200 3 11 t（分钟）
Ｏ Ｏ 3 11 t（分钟）
Ｃ． Ｄ．
【巩固】
如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M?A?B?M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离．．y与时间x之间关系的函数图象是（ ）
yyA y M x O O x O
B A． B． C．
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yx O D．
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初二数学竞赛辅导资料(共12讲)
