初二年级秋季数学竞赛讲义
目 录
本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。
注：有(*) 标注的为选做内容。 本次培训具体计划如下，以供参考：
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲
实数（一） 实数（二）
平面直角坐标系、函数 一次函数（一） 一次函数（二） 全等三角形
直角三角形与勾股定理
株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发） 竞赛中整数性质的运用 不定方程与应用 因式分解的方法 因式分解的应用
考试（未装订在内，另发） 试卷讲评
第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十四讲
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初二年级秋季数学竞赛讲义
第1讲 实数（一）
【知识梳理】
一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数
（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0
在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示
(a?0)?a?(a?0) 设a为实数，则|a|??0??aa?0?绝对值的性质：
①绝对值最小的实数是0
②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b ③对任意实数a，则|a|≥a， |a|≥－a ④|a2b|＝|a|2|b|，|a|a|(b≠0) |?b|b|⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|
（2）实数的偶次幂是非负数
如果a为任意实数，则a2n≥0（n为自然数），当n＝1时，a2≥0
（3）算术平方根是非负数，即
a≥0，其中a≥0.
(a?0)?a?(a?0) a2?|a|＝?0??aa?0?算术平方根的性质：
?a?2?a （a≥0）
2、非负数的性质
（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 3、对于形如a的式子，被开方数必须为非负数； 4、3a3?a推广到nan的化简；
5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。
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【例题精讲】
◆专题一：利用非负数的性质解题： 【例1】已知实数x、y、z满足 【巩固】
21、已知(x?y?6)?11|x?y|?z2?z??2y?z?0，求x＋y＋z的平方根。 24x2?4xy?4y2?0，则x?y的值为______________；
2、若a?1?(ab?2)2?0，
求
1111的值 ??????ab(a?1)(b?1)(a?2)(b?2)(a?2007)(b?2007)【拓展】
设a、b、c是实数，若a?b?c?2a?1?4b?1?6c?2?14，求a、b、c的值
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◆专题二：对于a(a?0) 的应用 【例2】已知x、y是实数，且y? 【例3】
已知x、y、z适合关系式：3x?y?z?2?2x?y?z?求x?y?z的值。 【巩固】
1、已知b＝3a?15?15?3a?31，且a?11的算术平方根是m，4b?1的立方根是n，试求
2x?1?1?2x?3,则xy? ；
x?y?2002?2002?x?y，
(mn?2)(3mn?4)的平方根和立方根。
1?x2?x2?1?4x?y（32）? ； 2、已知y?，则
x?1
【拓展】在实数范围内，设a＝(
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4x?1?x?1x?2?2?x2?x)2010，求a的个位数字。
初二年级秋季数学竞赛讲义
◆专题三：a?a，3a3?a的化简及应用
常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【例4】化简：y?
2【例5】若实数x满足方程1?x?1?x ，那么（x?1)? ；
2x2?2x?1?x2?6x?9
【巩固】
221、若a2?9，b2?4，且(a?b)?b?a，则(a?b)? ；
2、已知实数a满足a＋a2?3a3＝0，那么a?1?a?1? ；
3、设y?x2?2x?1?x2?6x?9?x2?4x?4
（1）求y的最小值
（2）求使6＜y＜7的x的取值范围。
【拓展】若(x?3?
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2121)?a?x??0，求(a?2)2的值。 2xx
初二数学竞赛辅导资料（共12讲）
