基于分数阶超混沌的新图像加密算法 

基于分数阶超混沌的新图像加密算法

赵建峰1，王淑英2，李险峰3，张理涛4

【摘 要】分数阶混沌系统具有复杂的动力学特性，因此在图像加密中具有更高的安全性.首先，利用离散logistic混沌系统对彩色数字图像的三基色平面进行置乱.然后，利用分数阶CYQY超混沌系统对置乱图像的三基色通道进行逐像素替换.为提高明文对密文的敏感性，通过明文图像产生的小数对作为密钥的阶次、参数和系统初始值等进行扰动，理论分析和对彩色Baboon图像的仿真实验均表明，该算法加密效果好且能有效抵抗各种攻击.【期刊名称】四川大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2014(051)005【总页数】7

【关键词】图像加密；分数阶混沌；置乱；扩散；彩色图像

1 引 言

在网络中图像信息的安全与保密技术已日益受到全社会的重视，而越来越广泛使用的图像和多媒体信息的数据量大且冗余度高，已给传统密码学算法提出了挑战［1］.混沌系统具有良好的伪随机特性、轨道的不可预测性、对系统初值及参数的极端敏感性及拓扑传递性等特点［2，3］.混沌和密码学之间具有天然的联系和结构上的某种相似性，著名学者Kocarev将二者之间的一些对比关系做了总结［4］，这些特性启示着人们把混沌应用于密码学领域.学者Shannon提出密码学中用于指导密码设计的两个基本原则：扩散（Diffusion）和混乱（Confusion）［5］.理论上混沌具有无限精度，而实际上计算机和硬件数字信号处理系统的字长是有限的，为快速实现随机性强的随机序列，可以通过采用更高的有限精度、添加微小随机扰动、用高维混沌或级联多个混沌系统等方法实现［6-8］.整数阶混沌系统是对实际混沌系统的理想化处理，因此研究分数阶混沌系统更具有普遍意义和实用性，并且分数阶混沌系统可使得密钥空间增大，结构不确定性增强.分数阶混沌系统及其同步因在保密通信、生物科学和社会科学等领域中的巨大潜在应用价值而引起了众多学者的关注［9-16］.近几年来，混沌理论用于信息加密成为研究热点，但对于分数阶混沌系统的保密通信研究还比较少，是一个很有研究价值的课题.

数字图像像素位置的置乱变换是一种重要的加密方法，不会改变图像的直方图特征，对于冗余度高的图像不太适合，较难应对穷举攻击法.为提高加密性能，可与其他加密算法相融合，本文基于整数阶和分数阶的混沌系统，先用经典离散Logistic混沌映射进行置乱，再用分数阶CYQY超混沌系统进行像素值替代加密，为了提高密文抵御已知明文攻击的能力，产生一个基于所有明文像素值且介于0与1之间的参数来扰动密钥，最后通过数值模拟验证理论的正确性，该算法有效抵御了有效精度效应，可有效保证网络平台下的信息交互安全.

2 分数阶CYQY超混沌系统

基于著名的Lorenz混沌系统，Chen等［17］提出了一个新的超混沌系统，命名为CYQY系统，其方程的分数阶形式为

其中，X ＝ （x，y，z，w）T 是系统的状态向量，（a，b，c，d，e）T 是系统的参数向量.由分数阶稳定性理论分析知，当系统阶次q1＝q2＝q3＝q4＝q∈（0.912202，1］时系统处于混沌状态，图1给出了分数阶CYQY系统的控制参数向量 （a，b，c，d，e）＝ （35，25，5，4.9，100）和系统初始变量 （x0，y0，z0，w0）＝

（0.2，0.21，0.011，0.3）下的 混沌吸引子图和t∈［0，100s］的时间序列图.

3 基于双混沌的数字图像加密算法

3.1 加密方案

图像加密过程包含两部分：图像像素位置置乱过程和图像像素值替换过程.本文采用迭代次数为N＝1，即一次置乱和一次异或.像素位置置乱过程：

读入大小为L＝M×N的明文图像，逐行扫描所得图像像素矩阵记为P.像素位置置乱采用logistic混沌系统：

其中，分岔参数μ∈ （0，4），初始状态变量x0 ∈（0，1），n∈N .

为提高密文对明文的敏感性，密钥受到明文的干扰，而混沌系统具有对参数和初始条件的高度敏感性，在置乱过程中，采用T ＝作为Logistic系统的初始变量，所生成混沌序列x（n）升序排列，用其位置矩阵lx（n）对图像像素进行置乱得到置乱矩阵，将置乱矩阵写成M×N二维矩阵，得到置乱图像C.

3.2 扩散替代加密操作

由于置乱只是改变像素点的位置，不会改变像素值的大小，为提高加密效果，在扩散中用T扰乱新混沌系统的参数a＝a＋T.系统（1）生成混沌序列，预迭代N0次来消除混沌暂态过程的有害效应，每一次混沌迭代，得到四个状态值｛x，y，z，w｝.

令m＝mod（abs（x＋y＋z＋w），4），且初始化一空序列B.若m＝0，序列B＝ ｛B，x，y，z，w｝；若m＝1，序列B＝ ｛B，w，x，y，z｝；若m＝2，序列B＝ ｛B，z，w，x，y｝；若m＝3，序列B＝ ｛B，y，z，w，x｝.

经过多次迭代，得到混沌序列B，并对B进行如下预处理：

其中，表示x的绝对值；floor（x）表示向下取整数.显然，模运算后B（i）∈ ［0，255］，m为正整数.

对置乱图像的进行像素值替代加密.首先对置乱图像第一个像素点单独采用下式加密.而对任意i＞1位置的像素，加密公式如下：

再将加密后的像素序列 ｛C（i）｝转化为M×N二维矩阵，得到最后的加密图像C.

解密过程是加密过程的逆操作.设解密矩阵用D表示，按逐行扫描顺序得到解密图像像素序列为，其中L＝M×N.

再对中间解密矩阵进行置乱的逆操作，Logistic系统混沌序列的x（n）升序排列，对其位置矩阵lx（n）进行升序排列，得到位置矩阵llx（n），用llx（n）作为置乱矩阵对矩阵 进行置乱操作，得到矩阵转化为M×N二维矩阵，得到置乱图像就是最终解密图像（明文图像）.

4 实验仿真与性能分析

本文以MATLAB 7.1为平台，对该加密算法进行仿真实验.选用大小为512×512像素的彩色Baboon图像作为明文图像，进行一轮像素位置置乱加密和一轮像素值替代加密，加密效果图如图2所示.

4.1 灰度分布直方图

由图3（a）可以看出，原始图像中各种像素值的像素数目极为分布不均，置乱不会改变像素值的数目，因此直方图不变，而经过像素值替代加密像素值空间呈均匀分布，图3（b）显示密文图像直方图顶端很平，因此算法具有抵抗差分攻击的能力.4.2 信息熵

信息熵可以度量出图像中灰度值的分布，灰度分布越均匀，图像信息熵越大，反之，信息熵就越小.信息熵的计算表达式为

其中，x是图像像素值；p（xi）是像素值xi出现的概率.最理想的加密图像是一个完全随机的图像，即每个灰度级都等概率出现，p（xi）＝1/256，则256灰度图像信息熵的理论最大值为8.彩色图像Baboon的红、绿、蓝三基色平面的信息熵都小于7.102074，加密后信息熵均大于7.991，比较接近理论值8，说明灰度分布已经比较均匀，该算法具有良好的抵御统计攻击能力.4.3 相邻像素的相关性

为了检验原始图像和加密图像相邻像素的相关性，从图像中选取水平方向、垂直方向和对角方向相邻像素对，用如下公式定量计算相邻像素的相关系数.

其中，x、y表示图像中两个相邻像素值；D（x）表示像素值的均方差；E（x）表示像素值的平均值；Conv（x，y）表示相关函数；Rxy表示相邻像素相关性.

在原始图像Baboon及其加密图像的水平、垂直和对角线方向分别取4×104对相邻像素点进行测试.图4给出原图和密图的水平方向、垂直方向和对角方向的相邻像素关系对比图，显然加密图像中相邻像素点灰度值的分布均匀.表1中数值显示原始图像的相邻像素高度相关，相关系数接近于1，而加密图像的相邻像素相关系数已经明显降低，非常接近于0，显然原始图像的统计特性已经扩散到随机的密文中.

4.4 抗差分攻击性能力分析

根据密码学原理，一种好的加密算法应该对明文充分敏感，当一副数字图像的像素值发生少量改变时，将会严重影响加密图像的性能，即明文敏感性，亦称为明文的雪崩效应.加密算法对明文的敏感性可量化为像素数改变率NPCR（Number of Pixels Chang Rate），也可用归一化像素值平均变化强度UACI（Unified Average Changing Intensity）度量密文对明文的敏感性，NPCR定义为两幅仅有一个像素不同的明文图像所对应两幅密文图像中不同像素占总像素的比例，UACI用来衡量两幅密文的平均强度差，计算式如下所示.

其中，C1（i，j）和C2（i，j）表示两幅密文图像中第（i，j）点处的像素值；M和N表示原始图像的行数与列数.

NPCR和UACI的理想期望值可以用如下式计算.

其中，n表示图像颜色深度，256级颜色灰度图像的n＝8，计算NPCR和UACI的理想期望值（如表2）满足等式NPCRE＋3UACIE＝2.

本文实验中，选取5组Baboon图像进行加密，每组图像中，一个是原始图像，另一个则是原始图像随机改变一个像素值（每次像素值改变量为1）的密文图像，而后所计算明密文图像之间的NPCR和UACI分别大于99%和33%，在理想值上下有微小波动（见表2）.本文算法中利用明文像素值干扰密钥，极大提高了密文对明文的敏感性，从而提高了算法的抗差分攻击破译能力.表2中的（i，j）表示第i副密文图像和第j副密文图像进行NPCR和UACI计算.

5 结束语

基于整数阶logistic混沌和分数阶CYQY超混沌系统，本文设计了一个新加密算法，改造的混沌序列具有良好的随机分布均匀特性.明文的每一个像素值的改变都会干扰密钥，从而明文的微小变化即可引起加密图像的极大不同，仿真实验中对Baboon彩色图像进行加密，最后由两个度量标准NPCR和UACI验证知此算法的抗差分攻击能力非常强.参考文献：

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基金项目：国家自然科学基金（11226337，61203179，61202098，61170309）；河南省教育厅科学技术研究重点项目基金（12B110028）；河南省基础与前沿技术研究计划项目基金（132300410373）