课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax＋bx＋c＝0(或ay＋by＋c＝0)．
若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离．
若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则弦长|AB|＝1＋k|x1－x2|或 【热身练习】
1．(教材习题改编)与椭圆＋＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )
121632322
A．y－＝1 B.－x＝1 C.x－y＝1
3348
2
22
2
1
1＋2|y1－y2|.
kx2y2
x2y2
3232
D.y－x＝1 48
y2x2
解析：选A 设双曲线方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，
ab??c则?＝2，
a??c＝2，
a2＋b2＝c2，
得a＝1，b＝3.故双曲线方程为y－＝1.
3
2
x2
2．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
94A．相交
B．相切 C．相离
D．不确定
x2y2
解析：选A 由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A．1条
B．2条 C．3条
D．4条
2
解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
x2y2
4．过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点
ab为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
解析：由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，所以B点的坐标为(0，a)，故M点的坐
aa?c226?2222
标为?－，?，代入椭圆方程得a＝3b，则c＝2b，则2＝，故e＝.
a33?22?
5．已知双曲线方程是x－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的
2中点，则此直线方程是________________．
2
y2
y2－y1
解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝22x2－x1
21
22
2
y21y22
x2＋x12×4
＝＝4，
y2＋y12
从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x－y－7＝0 【方法指导】
1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．
2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】
x2y22
[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yab2
＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为10
时，求k的值． 3
a＝2，??c2
[自主解答] (1)由题意得?＝，
a2??a＝b＋c，
2
2
2
22
解得b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
42
x2y2
y＝kx－，??22
(2)由?xy＋＝1，??42
2
得(1＋2k)x－4kx＋2k－4＝0.
222
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
4k2k－4
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝2，x1x2＝2，
1＋2k1＋2k所以|MN|＝
2
x2－x1＋y2－y1
2
＝＋k2
x1＋x2
2
－4x1x2]＝
2
＋k＋6k2
1＋2k22.
- 2 -
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝
|k|1＋k2
2，
2
1|k|4＋6k|k|4＋6k10
所以△AMN的面积为S＝|MN|· d＝.由＝，解得k＝±1. 22
21＋2k1＋2k3【由题悟法】
研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．
【试一试】
2
1．(2012·信阳模拟)设抛物线y＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
?11?A.?－，? B．[－2,2] C．[－1,1] ?22?
2
D．[－4,4]
解析：选C 易知抛物线y＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2,0)，于是，可设过点Q(－2,0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，
?y＝8x，?联立?
??y＝kx＋
2
?kx＋(4k－8)x＋4k＝0.
22
2
2
2
2
4
2
当k＝0时，易知符合题意；当k≠0时，其判别式为Δ＝(4k－8)－16k＝－64k＋64≥0， 可解得－1≤k≤1. 【最值与范围问题】
x2y21
[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的
ab2
距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．
[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得 ＋c??
?c1＝，??a2
2
＋1＝10，
??c＝1，
得?
?a＝2.?
所以椭圆方程为＋＝1.
43
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.
当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
??y＝kx＋m，由?22
?3x＋4y＝12?
2
2
x2y2
消去y，整理得
2
(3＋4k)x＋8kmx＋4m－12＝0， ① 则Δ＝64km－4(3＋4k)(4m－12)＞0，
- 3 -
2222
8kmx＋x＝－，??3＋4k?4m－12??xx＝3＋4k.1
2
2
2
12
2
2
?4km2，3m2?. 所以线段AB的中点为M?－?
?3＋4k3＋4k?
13m－2km因为M在直线OP：y＝x上，所以＝22. 23＋4k3＋4k3
得m＝0(舍去)或k＝－. 2
此时方程①为3x－3mx＋m－3＝0，则
2
x1＋x2＝m，??2
Δ＝3(12－m)＞0，?m2－3
x1x2＝.?3?
所以|AB|＝1＋k·|x1－x2|＝
2
392·12－m， 6
设点P到直线AB的距离为d，则
d＝|8－2m|2|m－4|
＝. 22
3＋213
设△ABP的面积为S，则
S＝|AB|·d＝123·6
m－
2－m2.
其中m∈(－23，0)∪(0,23)．
令u(m)＝(12－m)(m－4)，m∈[－23，23 ]，
2
2
u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－7)(m－1＋7)．
所以当且仅当m＝1－7时，u(m)取到最大值． 故当且仅当m＝1－7时，S取到最大值． 综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋27－2＝0. 【由题悟法】
1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．
(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
- 4 -
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【试一试】
2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y＝2px(p≠0)上存在关于直线x＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为( )
2
?2?A.?－，0? ?3??3? C.?－，0? ?2?
?2?B.?0，? ?3??3?D.?0，? ?2?
2
2
解析：选B 设抛物线上关于直线x＋y＝1对称的两点是M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线MN的方程为y＝x＋b.将y＝x＋b代入抛物线方程，得x＋(2b－2p)x＋b＝0，则x1＋x2＝2p－2b，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b＝2p，则MN的中点P的坐标为(p－b，p)．因为点P在直线x＋y＝1上，所以2p－b＝1，即b＝2p－1.又Δ＝(2b－2p)－4b＝4p－8bp＞0，将b＝2p－1代入得4p－8p(2p－1)＞0，即3p－2p＜0，解得0＜p＜2. 3
【定点定值问题】
2
2
2
2
2
x2y2
[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C0：2＋2＝1(a>b>0，a，b为常数)，
ab动圆C1：x＋y＝t1，b 2 2 2 B，C，D四点． (1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； (2)设动圆C2：x＋y＝t2与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b [自主解答] (1)设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，① 直线A2B的方程为y＝ 2 2 2 2 2 2 2 y1 x1＋a－y1 (x－a)．② x1－a－y122 由①②得y＝22(x－a)．③ x1－ax2y211 由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故2＋2＝1. abxy?x1?从而y＝b?1－2?，代入③得2－2＝1(x<－a，y<0)． ab?a? 2 1 2 2 2 2 (2)证明：设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2|·|y2|， 故x1y1＝x2y2. 因为点A，A′均在椭圆上，所以 22 22 - 5 - ?x1??x2?bx?1－2?＝b2x22?1－2?. ?a??a? 221 22 由t1≠t2，知x1≠x2，所以x1＋x2＝a，从而y1＋y2＝b， 因此t1＋t2＝a＋b为定值． 【由题悟法】 1．求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 【试一试】 3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a,0)，ab≠0，b≠2pa， 2 2 2 2 2 2 222222 M是抛物线上的点．设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个 定点，此定点坐标为________． y0－by1－y0by0－2pa?y0??y1??y2?解析：设M?，y0?，M1?，y1?，M2?，y2?，由点A，M，M1共线可知2＝2得y1＝，2， y0y1y0y0－b?2p??2p??2p? 2p同理由点B，M，M2共线得y2＝ －a－2p2p2pay2－y1y2－y.设(x，y)是直线M1M2上的点，则2＝2，即y1y2＝y(y1＋y2)－2px，y0y2y2y21 －－x2p2p2p222 又y1＝ by0－2pa2pa，y2＝， y0－by0 2 则(2px－by)y0＋2pb(a－x)y0＋2pa(by－2pa)＝0. 2pa?2pa?当x＝a，y＝时上式恒成立，即定点为?a，?. b?b? ?2pa?答案：?a，? ? b? - 6 -
圆锥曲线的综合问题（含答案）
