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专题28.1 不等式选讲（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 绝对值不等式的解法
1.绝对值不等式：a?b?a?b?a?b （1）a?b?a?b等号成立条件当且仅当ab?0 （2）a?b?a?b等号成立条件当且仅当ab?0
（3）a?b?b?c?a?c：此性质可用于求含绝对值函数的最小值,其中等号成立当且仅当
?a?b??b?c??0
2. x
c?0时,|ax?b|?c??c?ax?b?c,|ax?b|?c?ax?b?c或ax?b??c,进一步解一元一次不等式
b组；c?0时,解集分别为?,R；c?0时,解为?,R.
a另法：当不等式两边同号时,两边平方,解一元二次不等式.
（2）|x?a|?|x?b|?c或|x?a|?|x?b|?c(c?0)主要有三种解法：
方法一（分段讨论法）：利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(??,a],(a,b],(b,??) (此处设
a?b)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集．
方法二（几何法）：利用|x?a|?|x?b|?c(c?0)的几何意义：数轴上到点x1?a和x2?b的距离之和大于c的全体,|x?a|?|x?b|?|x?a?(x?b)|?|a?b|.
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方法三（图象法）：作出函数y1?|x?a|?|x?b|和y2?c的图象,结合图象求解． 【典例1】（2019·江苏高考真题）设x?R,解不等式|x|+|2 x?1|>2. 【答案】{x|x??或x?1}. 【解析】
当x<0时,原不等式可化为?x?1?2x?2,解得x<–当0≤x≤当x>
131： 31时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解； 21时,原不等式可化为x+2x–1>2,解得x>1. 21综上,原不等式的解集为{x|x??或x?1}.
3【典例2】（2018年全国卷Ⅲ理）设函数（1）画出（2）当
的图像；
,
,求
的最小值．
．
【答案】（1）见解析（2） 【解析】
（1） 的图像如图所示．
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（2）由（1）知,
且
时,
的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当
在
成立,因此
的最小值为．
【典例3】（2019·湖南师大附中高考模拟（文））已知函数f(x)?|2x?a|?a. （1）当a=2时,求不等式f(x)?6的解集；
（2）设函数g(x)?|2x?1|.当x?R时,f(x)?g(x)?3,求a的取值范围. 【答案】（1）{x|?1?x?3}；（2）[2,??)． 【解析】
（1）当a?2时,f(x)?|2x?2|?2. 解不等式|2x?2|?2?6,得?1?x?3. 因此,f(x)?6的解集为
.
（2）当x?R时,f(x)?g(x)?|2x?a|?a?|1?2x|?|2x?a?1?2x|?a?|1?a|?a, 当x?1时等号成立, 2所以当x?R时,f(x)?g(x)?3等价于|1?a|?a?3. ① 当a?1时,①等价于1?a?a?3,无解. 当a?1时,①等价于a?1?a?3,解得a?2. 所以a的取值范围是[2,??). 【规律方法】 （1）定义法.
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式,体现了分类讨论的思想；
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2020年新高考数学核心知识点28.1 不等式选讲(精讲精析篇)(教师版)
