2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（1）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合M???x,y?x?y?2?，N???x,y?x?y?2?，则集合MIN?（ ）
A．?0,2? B．?2,0? C．
??0,2??
D．
??2,0??
【答案】D 【解析】解方程组??x?y?2x?y?2，得?x?2??．故?y?0MIN???2,0??．选D．
2．设复数z?1?2i（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（ ） A．??3,4? B．?5,4? C．??3,2? D．?3,4?
【答案】A
【解析】z?1?2i?z2??1?2i?2?1?4?4i??3?4i，所以复数z2对应的点为??3,4?，
故选A．
3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x?0，则一开始输入的x的值为（ ）
A．
3154 B．
78 C．
16 D．
3132 【答案】C
【解析】i?1， （1）x?2x?1,i?2， （2）x?2?2x?1??1?4x?3,i?3， （3）x?2?4x?3??1?8x?7,i?4， （4）x?2?8x?7??1?16x?15,i?5，
所以输出16x?15?0，得x?1516，故选C． 4．已知cos????2??????2cos?????，则tan????4??????（ ） A．?4 B．4
C．?13
D．13
【答案】C
【解析】因为cos????2??????2cos?????，所以?sin???2cos??tan??2， 所以tan????1?tan?1?4?????1?tan???3，故选C．
x2y25．已知双曲线a2?b2?1?a?0,b?0?的一个焦点为F??2,0?，一条渐近线的斜率为3，
则该双曲线的方程为（ ）
A．x2x?y2?1 C．y2?y2?1 B．2?x2D．y2?x2333?1 3?1 【答案】B
x2【解析】令y2bba2?b2?0，解得y??ax，故双曲线的渐近线方程为y??ax．
??b?a?3?a2?1y2由题意得?c?2 ，解得?? ，∴该双曲线的方程为x2??1．选B． c2?a2?b2?b2?33??6．某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供
的全部数据，用最小二乘法得出
y与x的线性回归方程为y??8x?b?，则b?为（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A．5 B．15
C．12
D．20
【答案】C
【解析】由题意可得：x?2?4?5?6?825?35?60?555?5，y??755?52，
回归方程过样本中心点，则：52?8?5?b?，?b??12．本题选择C选项． 7．已知f?x??2018x2017?2017x2016?L?2x?1，下列程序框图设计的是求f?x0?的值，
在“?”中应填的执行语句是（ ）
开始输入x0i=1,n=2018S=2018i=i+1i≤2017？否S=S+n是输出SS=Sx0结束
A．n?2018?i B．n?2017?i C．n?2018?i D．n?2017?i
【答案】A
【解析】不妨设x0?1，要计算f?1??2018?2017?2016?L?2?1，
首先S?2018?1?2018，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填n?2018?i．
8．设0?x?π2，则“cosx?x2”是“cosx＜x”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】作图y?cos x，y?x2，y?x，x???0,???2??，可得cosx?x2解集为??m,???2??，cosx?x解集为???n,??2??，因为???m,??2??????n,??2??，因此选A． 9．如图为正方体ABCD?A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与
l?MA1?MC1?MD之间满足函数关系l?f?x?，则此函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取线段B1A中点为N，计算得：
lN?NA1?NC1?ND?6?22?2?3?lB1?lA．同理，当N为线段AC或CB1的中点时，计算得
lN?NA1?NC1?ND?6?22?2?3?lB1，符合C项的图象特征．故选C． ．已知双曲线E：x2y210a2?b2?1(a?0,b?0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在
第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段
BF的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
12 B．15
C．2 D．3
【答案】D
????c,b2a?，由此可得A??a,0?，C??b2【解析】不妨设B???b2??c,?a?，F?c,0?，M??0,2a?，由
??b2b2于A，C，M三点共线，故2a?a?aa?c，化简得c?3a，故离心率e?3．
11．已知点A?4,3?和点B?1,2?，点O为坐标原点，则uOAuur?tOBuuur?t?R?的最小值为（ ）
A．52 B．5
C．3
D．5
【答案】D
【解析】由题意可得：uOAuur??4,3?，uOBuur??1,2?，则： uOAuur?tOBuuur??4,3??t?1,2???4?t,3?2t???4?t?2??3?2t?2?5t2?20t?25，
结合二次函数的性质可得，当t??2时，uOAuur?tOBuuurmin?5?4?20?2?25?5．
本题选择D选项．
x2a?y2:x2y212．已知椭圆C1:22?1?a1＞b1＞0?与双曲线C22?2?1?a2＞0,b2＞0?有相同的
1b1a2b2焦点F1,F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2?2PF2，设C1与C2的离心率分别
为e1，e2，则e2?e1的取值范围是（ ）
A．??1??1?3,???? B．??3,????? C．??1,?D．??1?2????
?2,?????
【答案】D 【解析】设
F1F2?2c，令PF1?t，由题意可得：t?c?2a2，t?c?2a1，
据此可得：a11?a2?c，则：
?1e?1，ee2e1?， 12e2?12则：ee22?e1?e2?e?e2?1，由e2?1可得：0?12?1e2?1?1?2e?1， ?2?e?1??2e22结合二次函数的性质可得：??1??e???1e??0,1?，
22则：e12?e2，即e?1?1?2?e1的取值范围是??2,????．本题选择D选项．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知平面向量a与b的夹角为?3，且b?1，a?2b?23，则a?__________．
【答案】2
【解析】Qa?2b?23，?a?2b2?12，即a2?4a?b?4b2?12，
?a2?4a?1?cos60??4?12?12，化简得：a2?2a?8?0，?a?2．
14．如果P1，P22，…，P10是抛物线C：y?4x上的点，
它们的横坐标依次为x1，x2，…，x10，是抛物线C的焦点，若x1?x2?L?x10?10，则PF1?P2F?L?P10F?_________．
【答案】20
【解析】由抛物线方程y2?4x，可得p?2．
则PFp1?P2F?L?P2?xp10F?x1?2L?xp2??10?2?10?5p?20， 故答案为：20．
?x?y?2≥015．若x，y满足约束条件??x?y?4≤0 ，则y的取值范围为__________?x?1． ?y≥2【答案】??2
,??3
2??
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
yx?1表示可行域内的点M?x,y?与点P??1,0?连线的斜率． 由??x?y?4?0，解得??y?2?x?2?y?2 ，故得B?2,2?；
由??x?y?2?0，解得?x?0?y?2?y?2 ，故得A?0,2?．
?因此可得kPA?2，k2PB?3， 结合图形可得yx?1的取值范围为??2?3,2???．答案：??2?3,2???
． 16．在三棱椎P?ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且
PA?PB?2，PA?AC，则该三棱椎外接球的表面积为________．
【答案】12π
【解析】由于PA?PB，CA?CB，PA?AC，则PB?CB，因此取PC中点O，则有
OP?OC?OA?OB，即O为三棱锥P?ABC外接球球心，又由PA?PB?2，得
AC?AB?22，所以PC?22??22?2?23，所以S?4???3?2?12?．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列?an?满足Sn?2an?n?n?N*?． （1）证明：?an?1?是等比数列； （2）求a1?a3?a5?...?a2n?1?n?N*?．
【答案】（1）证明见解析；（2）22n?3?3n?53．
【解析】（1）由S1?2a1?1得：a1?1，···········1分 因为Sn?Sn?1??2an?n???2an?1??n?1???n≥2?，
所以an?2an?1?1，···········3分 从而由aan?1n?1?2?an?1?1?得
a1?2?n≥2?，·
··········5分 n?1?所以?an?1?是以2为首项，2为公比的等比数列．···········6分
（2）由（1）得ann?2?1，···········8分
所以a1?a3?a5?????a2n??31??4n?1?1?2?2?????22n????n?1??211?4??n?1?
?22n?3?3n?53．···········12分
18．“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照?0.1,0.2?，?0.2,0.3?，L，?0.9,1?分组，得到如下频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从这100名购物金额不少于0．8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．
【答案】（1）64（元）；（2）
1021． 【解析】（1）购物者获得50元优惠券的概率为：?1.5?2?2.5??0.1?0.6，····1分 购物者获得100元优惠券的概率为：?1.5?0.5??0.1?0.2，···········2分 购物者获得200元优惠券的概率为：?0.5?0.2??0.1?0.07，···········3分
∴获得优惠券金额的平均数为：50?0.6?100?0.2?200?0.07?64（元）．····6分 （2）这100名购物者购物金额不少于0.8万元的共有7人，不妨记为A，B，C，D，E，
F，G，其中购物金额在0.8～0.9万元有5人（为A，B，C，D，E），利用画树状图或列表
的办法易知从购物金额不少于0．8万元7人中选2人，有21种可能；这两人来自于购物金额在0．8～0．9万元的5人，共有10种可能，
所以，相应的概率为
1021．···········12分 19．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别是棱BC,AB的中点，点F在CC1棱上，且AB?AC，AA1?3，BC?CF?2．
（1）求证：C1E∥平面ADF；
（2）当AB?2时，求三棱锥A1?DEF的体积．
【答案】（1）见解析；（2）312．
【解析】（1）连接CE交AD于点P，连接PF， 由D，E分别是棱BC，AB中点，故点P为?ABC的重心，·
··········2分 ?在△CC1E中，有
CPCE?CFCC?2， 13?PF∥EC1，·
·········4分 又EC1?平面ADF，?C1E∥平面ADF，···········6分
（2）取AA1上一点H使AH?2HA1， ∵CF?2FC1且直三棱柱ABC?A1B1C1， ∴HF∥AC，∵D,E为中点，
∴DE∥AC，DE∥HF，HF∥平面A1DE，···········8分 ∴VA1?DEF?VF?A1DE?VH?A1DE?VD?A1HE，···········9分
而S1?EHA1?2?1?1?12， 点D到平面AA31B1B的距离等于2，
∴VD??13?12?32?3A1HE12?VA1?DEF， ∴三棱锥A?DEF的体积为3112．···········12分
．已知椭圆C:x2y220a2?b2?1(a?b?0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，
且椭圆C的短轴长为23．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点P?0,2?的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足
uOMuuuv?uONuuv?2（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22【答案】(1)
x4?y3?1；(2)答案见解析． ?2b?23【解析】（1）由题意得：??a?2c ，···········2分
??a2?b2?c2解得???a?2，∴椭圆C的标准方程是x2y2??b?34?3?1···········4分 （2）当直线l的斜率不存在时，M?0,3?，N?0,?3?
uOMuuuv?uONuuv??3，不符合题意···········5分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?2，M?x1,y1?，N?x2,y2?
?x2y2由??4??1 消y整理得：?3?4k2?x2?16kx?4?0，?3 ?y?kx?2???16k?2?16?3?4k2??0，解得k??112或k?2，·
··········6分 x1?x2??16k3?4k2，x1x2?43?4k2，···········7分 ∴uOMuuuv?uONuuv?x1x2?y1y2??1?k2?x1x2?2k?x1?x2??4
?4?1?k2??12k23?4k2?32k2163?4k2?4?3?4k2，···········9分 ∵uOMuuuv?uONuuv?2，∴16?12k23?4k2?2，···········10分
解得k??22，满足??0，···········11分 所以存在符合题意的直线，其方程为y??22x?2．·
··········12分 21．已知函数f?x??lnx?ax2?x，a?R． （1）讨论函数f?x?的单调性；
（2）已知a?0，若函数f?x?≤0恒成立，试确定a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）?1,???．
【解析】（1）由f?x??lnx?ax2?x，得：f??x???2ax2?x?1x，x?0，······1分
当a≤0时，f??x??0在?0,???上恒成立，函数f?x?在?0,???上单调递增；·········3分当a?0时，令f'?x??0，则?2ax2?x?1?0，得x?8a?11?14a，x1?8a?12?4a，
∵x1x2??12a?0，∴x1?0?x2， ∴令f??x??0得x??0,x2?，令f??x??0得x??x2,???，
∴f?x?在??1?8a?1??1?8a?1?0,上单调递增，在?4a???,???上单调递减．·······???4a??·6分 ? （2）由（1）可知，当a?0时，函数f?x?在?0,x2?上单调递增，在?x2,???上单调递减，
∴f?x??f?x2max2?，即需f?x2?≤0，即lnx2?ax2?x2≤0，···········8分
又由f??x21?x22??0得ax2?2，代入上面的不等式得2lnx2?x2≤1，···········9分 由函数h?x??2lnx?x在?0,???上单调递增，h?1??1，所以0?x2≤1，·······10分
∴1x≥1，∴a?1?x21?11?2x2??x2??≥1， 222?2x2?所以a的取值范围是a??1,???．···········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极
坐标系，已知曲线C221：x?y?1，直线l：??cos??sin???4．
（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若直线l1经过点P?1,2?且l1∥l，l1与曲线C2交于点M,N，求PM?PN的值．
【答案】（1）x?y?4，x?24?y?23?1；（2）2．
【解析】（1）因为l：??cos??sin???4，所以l的直角坐标方程为x?y?4；·········2分
??x?x?设曲线C?，则???x??2x?22上任一点坐标为?x?,y?y??3y ，所以????y?， ??y?3代入C?x??2?y??2x?2y?21方程得：??2?????3???1，所以C2的方程为4?3?1．···········5分 （2）直线l：x?y?4倾斜角为
?4，由题意可知， ??2直线l?x?1?1的参数方程为?2t （t为参数），·
··········7分
?2??y?2?2t联立直线l71和曲线C2的方程得，2t2?112t?7?0．设方程的两根为t1,t2，则t1t2?2，由直线参数t的几何意义可知，
PM?PN?t1t2?2．···········10分
23．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f?x??2x?1?x?1． （1）解不等式f?x?≤3；
（2）记函数g?x??f?x??x?1的值域为M，若t?M，证明：t2?1≥3t?3t． 【答案】(1){x|?1≤x≤1}；（2）见解析．
?????3xx≤?1【解析】(1)依题意，得f?x???2?x1?x?1 ，···········2分 ?2??1?3xx≥21于是得f?x?≤3???x≤?1???1?x???x≥1·········??3x≤3 或??2 或?2 ，·
4分 ?2?x≤3??3x≤3解得?1≤x≤1，即不等式f?x?≤3的解集为{x|?1≤x≤1}．···········5分 （2）g?x??f?x??x?1?2x?1?2x?2≥2x?1?2x?2?3， 当且仅当?2x?1??2x?2?≤0时，取等号，∴M??3,???，···········7分
32由t2?3t?1?3?t?3t?t?3?t?3??t2?1?tt?t，···········8分 ∵t?M，∴t?3≥0，t2?1?0，∴
?t?3??t2?1?≥0，∴t2?1≥3tt?3t．···········10分
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(1)（文科数学含答案详解）
