高中物理必修一匀变速直线运动的规律和应用典型例题精讲精练

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匀变速直线运动的规律及其应用

二、匀变速直线运动的位移与时间的关系 匀变速直线运动位移—时间关系式:x1?v0t?at2

21?v0t?at2

2匀变速直线运动的两个基本关系式: ①速度—时间关系式:v=v0+at ②位移—时间关系式:x(2)公式中的x,v0,a都是矢量,应用时必须选取统一的方向为正方向. 活学活用

2.已知O,A,B,C为同一直线上的四点,AB间的距离为l1,BC间的距离为l2.一物体自O点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过A,B,C三点.已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等.求O与A的距离.

1?v0t?at2①l+l=2vt+2at

22v0(3l1?l2)2⑤联立③④⑤式得l?②，联立①②式得l-l=at③，3l-l=2vt④，设O与A的距离为l,则有l? 2a8?l2?l1?解析：设物体的加速度为a,到达A点的速度为v0,通过AB段和BC段所用的时间为t,则有l12

1

2

0

2

1

1

2

0

2

三、匀变速直线运动的位移与速度的关系

匀变速直线运动的位移与速度的关系：v-v0=2ax (1)不含时间,应用很方便.(2)公式中四个矢量也要规定统一的正方向.

2

2四、匀变速直线运动的规律

v0?vt.②任意两个相邻的相等的时间间隔T内的位移差相等，即Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-x2v0?vt2

.即匀变速直线运动的物体在一段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时Ⅱ=…=xN-xN-1=aT.③中间时刻的瞬时速度vt?221.几个重要推论：①平均速度公式v?2v0?v2t间的平均速度，等于初速度、末速度和的一半. ④中点位置的瞬时速度vx?22.

2.初速度为零的匀加速直线运动的四个比例关系:(T为时间单位)

①1Ts末,2Ts末,3Ts末……的速度之比v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：n. ②前1Ts内,前2Ts内,前3Ts内……的位移之比x1：x2：x3：…：xn=1：4：9：…

n.

2

③第一个Ts内,第二个Ts内,第三个Ts内……的位移之比xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xn=1：3：5：…：(2n-1). ④通过连续相等的位移所用的时间之比t1：t2：t3：…：tn=1：(2-1)：(3?2)：…：

?n?n?1?.

3.从斜面上某一位置,每隔0.1s释放一个小球,在连续释放几个小球后,拍下在斜面上滚动的小球的照片,如图所示,测得sAB=15cm,sBC=20cm,求:

(1)小球的加速度;(2)拍摄时B球的速度;(3)拍摄时sCD的大小;(4)A球上面滚动的小球还有几个? 解析:(1)由a?sBC?sAB?sa??5 m/s2; 得小球的加速度22Tt..下载可编辑..

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(2)B点的速度等于AC段上的平均速度,即vB?sAC?1.75 m/s; 2t(3)由相邻相等时间的位移差恒定,即sCD-sBC=sBC-sAB,所以sCD=2sBC-sAB=0.25m; (4)设A点小球的速度为vA,由于vA=vB-at=1.25m/s 所以A球的运动时间为t=

vAa=0.25s,所以在A球上方滚动的小球还有2个.

考点1．匀变速直线运动规律及应用 几个常用公式．速度公式：Vt度公式：s?V0?at；位移公式：s?V0t?0

t

12at；速度位移公式：Vt2?V02?2as；位移平均速20

?V0?Vtt．以上五个物理量中，除时间t外，s、V、V、a均为矢量．一般以V的方向为正方向，以t=0时刻的位2移为起点，这时s、Vt和a的正负就都有了确定的物理意义．

特别提示：

对于位移、速度和加速度等矢量要注意矢量的方向性，一般要先选取参考方向．对于有往返过程的匀变速直线运动问题，可以分阶段分析．特别注意汽车、飞机等机械设备做减速运动速度等于零后不会反向运动．

2

【例1】一物体以l0m／s的初速度，以2m／s的加速度作匀减速直线运动，当速度大小变为16m／s时所需时间是多少?位移是多少？物体经过的路程是多少?

?V0?at有：?16?10?2t，所以经过t?13s物体的速度

1212大小为16m／s，又s?V0t?at可知这段时间内的位移为：s?(10?13??2?13)m??39m，物体的运动分为两个

2202?102m?25m；第二阶段速度从零反向加速到16m/s，位移大阶段，第一阶段速度从10m/s减到零，此阶段位移大小为s1??2?2162?02m?64m，则总路程为L?s1?s2?25m?64m?89m 小为s2?2?2【实战演练】（2011全国理综）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

解析：设汽车甲在第一段时间间隔末（时间t0）的速度为v,第一段时间间隔内行驶的路程为s1,加速度为a,在第二段时间间隔内行

解析：设初速度方向为正方向，根据匀变速直线运动规律Vt1212③，设乙车在时间t的速度为v?，在第一、at0②，s2?vt0?(2a)t02212?1???2二段时间间隔内行驶的路程分别为s1、s2。同样有v??(2a)t0 ④，s1?(2a)t0⑤，s2?v?t0?at0⑥，设甲、乙

22??两车行驶的总路程分别为s、s?，则有s?s1?s2⑦，s??s1?s2⑧，联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之

s5比为?⑨，

s?7驶的路程为s2。由运动学公式得v?at0①，s1?0

【例2】飞机着陆后以6m/s加速度做匀减速直线运动，若其着陆速度为60m/s，求：

（1）它着陆后12s内滑行的距离；（2）静止前4s内飞机滑行的距离．

2

60（1）由上述分析可知，飞机12s内滑行的距离即为10s内前进的距离s?10s。

622v6012/s：由v02?2as，s?0?m?300m，（4）静止前4s内位移：s?s?(v0t1?at1)，其中t1?(10?4)s?6s

2a2?621/2故s??6?4m?48m

2解析：飞机在地面上滑行的最长时间为t?【实战演练1】一个匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第二个4 s内经过的位移是60 m．求这个物体的加速度和初速度各是多少？

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【详解】由公式Δx＝aT，得a＝

2

Δx60－2424＋6022

m/s＝2.25 m/s.根据v＝vt得 m/s＝v0＋4a，所以v0＝1.5 m/s. 2＝2

T482

【实战演练2】(2011年福州市模拟)一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动.开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m.则刹车后6 s内的位移是( ) A.20 m B.24 m C.25 m D.75 m 【详解】由Δs＝aT2得a＝2 m/s2，由

得v0＝10 m/s，汽车刹车时间

故刹车后6 s内的位移

为C对.

考点2．匀变速直线运动的几个有用的推论及应用 （一）匀变速直线运动的几个推论 （1）匀变速直线运动的物体相邻相等时间内的位移差?S 可以推广为：Sm-Sn=(m-n)aT

（2）某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度：V?t22

?at2，a?sn?m?sn?s2?S?mat；a?mT2T2V0?Vt

2 ；

V02?Vt2（3）某段位移的中间位置的即时速度公式（不等于该段位移内的平均速度） Vs? ．

22 无论匀加速还是匀减速，都有Vt2?Vs．

2（二）初速度为零的匀变速直线运动特殊推论

做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为： V?at ， s?12at ， 2V2?2as ， s?Vt 2以上各式都是单项式，因此可以方便地找到各物理量间的比例关系． ①前1s、前2s、前3s……内的位移之比为1∶4∶9∶…… ②第1s、第2s、第3s……内的位移之比为1∶3∶5∶…… ③前1m、前2m、前3m……所用的时间之比为1∶2∶3∶…… ④第1m、第2m、第3m……所用的时间之比为1∶

?2?1∶（3?2）∶…… ?【例3】物体沿一直线运动，在t时间内通过的路程为S，它在中间位置

11S处的速度为V，在中间时刻t时的速度为V，221

2

则V1和V2的关系为（ ）

A．当物体作匀加速直线运动时，V1＞V2; B.当物体作匀减速直线运动时，V1＞V2; C．当物体作匀速直线运动时，V1=V2; D.当物体作匀减速直线运动时，V1＜V2．

解析：设物体运动的初速度为V0，未速度为Vt，由时间中点速度公式V??V0?Vt2得V2?V0?Vt2；由位移中点速度公式

V中点V02?Vt2?2V02?Vt2得V1?2．用数学方法可证明，只要V0?Vt，必有V>V;当V0?Vt，物体做匀速直线运动，

1

2

必有V1=V2．

【实战演练】(2011·长治模拟)一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是1 s、2 s、3 s，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是( ) A.1∶22∶32，1∶2∶3 B.1∶23∶33，1∶22∶32 C.1∶2∶3，1∶1∶1 D.1∶3∶5，1∶2∶3

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【详解】物体从静止开始做匀加速直线运动，相等时间位移的比是1∶3∶5∶…∶(2n-1),2 s通过的位移可看成第2 s与第3 s的位移之和，3 s通过的位移可看成第4 s、第5 s与第6 s的位移之和，因此这三段位移的长度之比为1∶8∶27，这三段位移上的平均速度之比为1∶4∶9，故选B.

【例4】地铁站台上，一工作人员在电车启动时，站在第一节车厢的最前端，4ｓ后，第一节车厢末端经过此人.若电车做匀加速直线运动，求电车开动多长时间，第四节车厢末端经过此人?(每节车厢长度相同)

解析：做初速度为零的匀变速直线运动的物体通过连续相等位移的时间之比为：

1:(2?1):(3?2):(4?3):......:(n?n?1)

故前4节车厢通过的时间为：[1?(2?1)?(3?2)?(4?3)]?4s?8s

高考重点、热点题型探究

刹车问题、图象问题、逆向思维及初速度为零的匀加速直线运动的推论公式既是考试的重点，也是考试的热点． 热点1：图表信息题

[题1]（2011上海）要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道．求摩托车在直道上行驶所用的最短时间．有关数据见表格．

启动加速度a1 制动加速度a2 直道最大速度v1 弯道最大速度v2 直道长度s

4m/s2 8m/s2 40m/s

20m/s 218m

某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，然后再减速到 v2＝20m/s，t1 = v1/ a1 = …；t2 = （v1－v2）/ a2= …；t=t1 + t2

你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确结果．

[解析]不合理 ，因为按这位同学的解法可得 t1=10s ，t2=2.5s，总位移 s0=275m＞s．故不合理．由上可知摩托车不能达到最

v2v2?v22大速度v，设满足条件的最大速度为v，则??s，解得 v=36m/s 又 t= v/a =9s t=(v-v)/a=2 s 因此所用的

2a12a22

1

1

2

2

2

最短时间 t=t1+t2=11s

重点1：力与运动的综合问题

[题2] 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,到达斜面最高点C时速度恰为零,如图.已知物体运动到斜面长度3/4处的B点时,所用时间为t,求物体从B滑到C所用的时间.

解析：方法一:逆向思维法：物体向上匀减速冲上斜面,相当于向下匀加速滑下斜面.故xBC=atBC/2, xAC=a(t+tBC)/2,又xBC=xAC/4,解得:tBC=t。方法二：比例法：对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为：x1：x2：x3：…：xn=1：3：5：…：(2n-1)，现有xBC：xBA=xAC/4：3xAC/4=1：3,

通过xAB的时间为t,故通过xBC的时间tBC=t。方法三:中间时刻速度法。利用教材中的推论:中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度。vAC=(vt+v0)/2=(v0+0)/2=v0/2，又v0=2axAC,①，vB=2axBC,②，xBC=xAC/4,③，解得①②③得：vB=v0/2.

可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置.因此有tBC=t。方法四:面积法：利用

22

相似三角形面积之比,等于对应边平方比的方法,作出v—t图象,如图。S△OAC/S△BDC=CO/CD,且S△AOC=4S△

22

BDC,OD=t,OC=t+tBC。4/1=（t+tBC）/tBC ，,得tBC=t。方法五：性质法：对于初速度为0的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比：t1：t2；t3：…：tn=1：

222

2

图1-2-1 ?2?1：3?2：4?3：?：n?n?1.

???????现将整个斜面分成相等的四段，如图，设通过BC段的时间为tx,那么通过BD、DE、EA段的时间分别为：

tBD??2?1tx,tDE???3?2tx,t

?EA

=

?4?3?t,又t+t+t=t,得t=t.

x

BD

DE

EA

x

[新题导练]（原创题）一个有趣的问题----古希腊哲学家芝诺曾提出过许多佯谬．其中最著名的一个命题是“飞毛腿阿喀琉斯永远也追不上爬行缓慢的乌龟”．芝诺的论证是这样的：如图1-1-10所示，假定开始时阿喀琉斯离开乌龟的距离为OA?L，他的速度为v1，乌龟的速度为v2，且v1＞v2．当阿喀琉斯第一次跑到乌龟最初的位置A时，乌龟在此期间爬到了另一位置B，显然

AB?v2?Lv2?L；当阿喀琉斯第二次追到位置v1v1B时，乌龟爬到了第三个位置C，且BC?v2?vAB?(2)2L；当阿v1v1..下载可编辑..

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喀琉斯第三次追到位置C时，乌龟爬到了第四个位置D，且CD?v2?vBC?(2)3L…如此等，尽管它们之间的距离会愈来愈v1v1近，但始终仍有一段距离．于是芝诺得到“结论”：既然阿喀琉斯跑到乌龟的上一个位置时，不管乌龟爬得多慢，但还是前进了一点

点，因而阿喀琉斯也就永远追不上乌龟．

显然飞毛腿阿喀琉斯永远也追不上爬行缓慢的乌龟的命题是错误的，请分析探究究竟错在哪个地方？ vv

O A B C D L 图

答案：两个要点：（1）这个结论不对．因为乌龟相对飞毛腿阿喀琉斯以速度v相且所需的时间只要t?v1?v2向左运动，因此肯定能追上的，并

?Lv1?v2．（2）芝诺把阿喀琉斯每次追到上一次乌龟所达到的位置作为一个“周期”，用来作时间的计量单

位，因此这个周期越来越短，虽然这样的周期有无数个，但将这些周期全部加起来，趋向于一个固定的值，这个固定的值就是

Lv1?v2．

★课后精练★（20分钟）

１．电梯在启动过程中，若近似看作是匀加速直线运动，测得第1s内的位移是2m，第2s内的位移是2.5m．由此可知（ ） A．这两秒内的平均速度是2.25m/s B．第3s末的瞬时速度是2.25m/s

22

C．电梯的加速度是0.125m/s D．电梯的加速度是0.5m/s

2．如图1-2-15所示，一个固定平面上的光滑物块，其左侧是斜面AB，右侧是曲面AC，已知AB和AC的长度相同，甲、乙两个小球同时从A点分别沿AB、CD由静止开始下滑，设甲在斜面上运动的时间为t1，乙在曲面上运动的时间为t2，则( )

A．t1＞t2

甲A 乙 B．t1＜t2

C．t1＝t2

B C D．以上三种均可能 图3．甲、乙两物体相距s，同时同向沿一直线运动，甲在前面做初速度为零，加速度为a1的匀加速直线运动，乙在后做初速度为v0，加速度为a2的匀加速直线运动，则

v/ms-1 A．若a1=a2，则两物体相遇一次 B. 若a1>a2，则两物体相遇二次

1 C. 若a1a2，则两物体也可能相遇一次或不相遇

4．一质点沿直线运动时的速度—时间图线如图1-2-16所示，则以下说法中正确的是（ ） 0 1 2 3 4 5 t/s A．第1s末质点的位移和速度都改变方向． 2 B．第2s末质点的位移改变方向． 图 C．第4s末质点回到原位．

1-2-16

D．第3s末和第5s末质点的位置相同． 5．某一时刻a、b两物体以不同的速度经过某一点，并沿同一方向做匀加速直线运动，已知两物体的加速度相同，则在运动过程中 （ ）

A．a、b两物体速度之差保持不变 B．a、b两物体速度之差与时间成正比

C．a、b两物体位移之差与时间成正比 D．a、b两物体位移之差与时间平方成正比

6．让滑块沿倾斜的气垫导轨由静止开始做加速下滑，滑块上有一块很窄的挡光片，在它通过的路径中取AE并分成相等的四段，如图1-2-17所示，vB表示B点的瞬时速度，v表示AE段的平均速度，则vB和v的关系是( )

A．vB＝v B．vB＞v C．vB＜v D．以上三个关系都有可能

A B C D E 7．汽车以20m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大

2

小为5m/s，则它关闭发动机后通过t=37.5m所需的时间为（ ） 图

A.3s; B.4s C.5s D.6s

1-2-17

8．一物体作匀变速直线运动,某时刻速度的大小为4m/s,1s后速度的大小变为10m/s.在这1s内该物体的( ). (A)位移的大小可能小于4m (B)位移的大小可能大于10m

22

(C)加速度的大小可能小于4m/s (D)加速度的大小可能大于10m/s.

9．几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点在同一竖直面上，一个物体从斜面上端由静止自由下滑到下端用时最短的斜面倾角为（ ）

0 0 0 0

A．30B．45C．60D．75

10．a、b、c三个物体以相同初速度沿直线从A运动到B，若到达B点时，三个物体的速度仍相等，其中a做匀速直线运动所用时间ta，b先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，所用时间为tb，c先做匀减速直线运动，再做匀加速直线运动，所用时间为tc、tb、tc三者的关系（ ）

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