圆的变形记
王 超
【摘 要】文章通过教学实例，阐述了文字定义、标准方程、一般方程、距离之比、平方和为常数等圆的表示方法，以期为学生提供更清晰的解题思路。 【期刊名称】基础教育论坛（综合版） 【年(卷),期】2017(000)034 【总页数】2
【关键词】圆；标准方程；一般方程；表示形式；解题方法
近几年，江苏省高考数学考试说明连续强调高中数学有8个C级考点，其中“圆的标准方程与一般方程”长期占据一席之地。全国高考考试大纲考试说明同样也提出了要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。高三复习重复、枯燥，教师不断选题、讲题，学生不断做题、订正、再做题，如此反复循环。在这个过程中，如何调动学生学习的积极性，保持对数学学习的热情，是教师在每节复习课前需要思考和解决的问题。笔者以“圆的变形记”为题，具体谈谈圆的几种表示形式，希望为学生对与圆有关的题目的解答提供一些帮助。
例1 如果圆（x-a）2+（y-a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_______。
分析：可以先将圆上总存在两个点到原点的距离为1这一条件进行补充，找到所有到原点距离为1的点，其对应的圆的标准方程为x2+y2=1，转化成两个圆的位置关系，问题即可解决。
解：由圆的定义可知，到原点距离为1的点满足方程x2+y2=1。
由圆（x-a）2+（y-a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，可知以（a，a）为圆心，2为半径的圆与以（0，0）为圆心，1为半径的圆相交。
【点评】此题主要考查了圆的定义。通过圆的定义将问题转化为圆与圆之间的位置关系，使解题思路更加清晰，解答过程更加明确。
例2 已知A（-1，0），B（-2，0），点P在圆x2+若这样的点P有两个，则r的取值范围是______。 分析：的化简是解题的关键。 解：设点P的坐标为P（x，y）， 则由得 即
两边平方，整理得（x+3）2+y2=2。 由题意可知，两圆相交。 解得
【点评】古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，即若点A，B为两定点，动点P满足PA=λPB。当λ=1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆。 感兴趣的学生可以回归教材，做一做下面的练习题。
练习：已知点 M（x，y）与两个定点 O（0，0），A（3，0）的距离之比为，那么点M的坐标应该满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线。 例3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（xa）2+（y-a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是
______。
分析：MA2+MO2=10的化简是解决此题的关键。 解：设点M的坐标为（x，y），
则MA2=x2+（y-2）2，MO2=x2+y2。 因为MA2+MO2=10，
所以x2+（y-2）2+x2+y2=10。 化简，得x2+（y-1）2=4。 由两圆相交或相切可知， 解得0≤a≤3。
【点评】到两个定点的距离平方之和为常数，是圆的另一种表示方法，即若动点M满足MA2+MB2=t，且AB=2a，则当t＞2a2时，动点M的轨迹为圆。 著名作家茅盾说过，学问是经验的积累。高中数学复习就是一个不断积累的过程。积累绝不是题海战术，它有自己的策略，正所谓题不在多，研究就行。当你研究清楚了题目的本质，积累了圆的表示形式，即文字定义、标准方程、一般方程、距离之比、平方和为常数等，类似问题的本质也就一目了然，解题方法自然水到渠成。希望学生在解题时多一点研究，在复习中多一些积累，成功将离你越来越近。 参考文献：
［1］曾宪清.圆系方程的妙用［J］.数学大世界（高中生数学辅导版），2006（Z1）.
［2］吴雅琴.巧用圆系方程解题［J］.中学教学参考，2009（32）.
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