它们在与直线x?1交点处的切线的斜率k?y?|x?1?a?b． 若a?b?5，有两种情形，从中取出两条，有C22种取法； 若a?b?7，有三种情形，从中取出两条，有C32种取法； 若a?b?9，有四种情形，从中取出两条，有C42种取法； 若a?b?11，有三种情形，从中取出两条，有C32种取法； 若a?b?13，有两种情形，从中取出两条，有C22种取法．
222?C32?C4?C32?C2?14种， 由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有C2?所求概率为
7． 60故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若函数f(x)?e?(x?u)(e是自然对数的底数）的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m??? 1 ． 【解答】解：
f(x)是偶函数，
2， ?f(?1)?f（1）?u?0 ?f(x)?e?x，
?当x?0时函数f(x)取得最大值，且最大值为1，
2?m???1．
故答案为：1．
14．（4分）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 30? ．
【解答】解：取AC的中点E，连接BE，C1E， 正三棱柱ABC?A1B1C1中，?BE?面ACC1A1， ??BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，
第11页（共20页）
BC1?3，BE??sin??3， 21，??30?． 2故答案为30?．
15．（4分）已知O的方程是x2?y2?2?0，O?的方程是x2?y2?8x?10?0，由动点P向O和O?所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 x?3 ． 2【解答】解：O：圆心O(0,0)，半径r?2；O?：圆心O?(4,0)，半径r??6． 设P(x,y)，由切线长相等得x2?y2?2?x2?y2?8x?10，即x?所以动点P的轨迹方程是x?3． 23． 216．（4分）下面有5个命题：
①函数y?sin4x?cos4x的最小正周期是?； ②终边在y轴上的角的集合是{?|??k?,k?Z}； 2③在同一坐标系中，函数y?sinx的图象和函数y?x的图象有3个公共点；
??④把函数y?3sin(2x?)的图象向右平移得到y?3sin2x的图象；
36⑤角?为第一象限角的充要条件是sin??0
其中，真命题的编号是 ①④ （写出所有真命题的编号）
【解答】解：①y?sin4x?cos4x?sin2x?cos2x??cos2x，它的最小正周期为?，正确； ②k是偶数时，?的终边落在x轴上，所以②错误；
③可以借助单位圆证明当x?(0,)时，sinx?x?tanx，故y?sinx，y?tanx和y?x在第
2一象限无交点，错误；
???④把函数y?3sin(2x?)的图象向右平移得到y?3sin2x的图象，这是正确的；
36第12页（共20页）
⑤角?为第二象限角，sin??0也成立．所以⑤错误， 故答案为：①④．
三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知cos??（Ⅰ）求tan2?的值； （Ⅱ）求?．
1431?【解答】解：（Ⅰ）由cos??,0???，得sin??1?cos2??1?()2? 7772?tan???113，cos(???)?，且0?????，
27142tan?2?4383sin?437??? ???43，于是tan2??221?tan?1?(43)47cos?71
（Ⅱ）由0?????又由ccos(???)??2，得0??????2，
133313，?sin(???)?1?cos2(???)?1?()2?
141414????(???)???3得
s1??7c：
1??1oo??所以??．
18．（12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数?的分布列及期望E?，并求该商家拒收这批产品的概率．
【解答】解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有P(A)?1?P(A)?1?0.24?0.9984 （Ⅱ）?可能的取值为0，1，2
2C17136P(??0)?2?，
C20190第13页（共20页）
11C3C1751P(??1)??， 2C20190C323P(??2)?2?
C20190? P E??0?0 136 1901 51 1902 3 19013651357； ?1??2??190190190190记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B， 则商家拒收这批产品的概率P?1?P(B)?1?所以商家拒收这批产品的概率为
27． 9513627 ?1909519．（12分）如图，又AC?1，PCBM是直角梯形，?PCB?90?，PM//BC，BC?2，PM?1，?ACB?120?，AB?PC，直线AM与直线PC所成的角为60?．
（Ⅰ）求证：平面PAC?平面ABC； （Ⅱ）求二面角M?AC?B的大小； （Ⅲ）求三棱锥P?MAC的体积．
【解答】解法一：
（Ⅰ）PC?AB，PC?BC，AB?PC?平面ABC，
BC?B，
又PC?平面PAC，
?平面PAC?平面ABC．
（Ⅱ）取BC的中点N，则CN?1，连接AN，MN，
PM?CN，?MN?PC，从而MN?平面ABC
作NH?AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC?NH，
第14页（共20页）
////
从而?MHN为二面角M?AC?B的平面角 直线AM与直线PC所成的角为600 ??AMN?60?
在?ACN中，由余弦定理得AN?AC2?CN2?2ACCNcos1200?3； 在?AMN中，MN?ANcot?AMN?3?在?CNH中，NH?CNsin?NCH?1?在?MNH中，MN?tan?MHN?3?1； 333； ?22MN123； ??NH33223． 3故二面角M?AC?B的平面角大小为arctan
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形
113 ?VP?MAC?VA?PCM?VA?MNC?VM?ACN??ACCNsin1200MN?3212
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD?CB，建立空间直角坐标系C?xyz（如图） 由题意有A(31,?,0)，设P(0，0，z0)(z0?0)， 2233,,z0),CP?(0,0,z0) 22|cos600则M(0，1，z0)，AM?(?MCPAM?|CP|由直线AM与直线PC所成的解为60?，得A2，即z0??2z02?3z0，
解得z0?1
?CM?(0,1,1),CA?(31,?,0)，设平面MAC的一个法向量为n??x1,y1,z1?， 22?y1?z1?0?则?3，取x1?1，得n?1,3,?3， 1y1?z1?0??22??平面ABC的法向量取为m?(0,0,1)， 设m与n所成的角为?，则cos??mn?3?，
|m||n|7显然，二面角M?AC?B的平面角为锐角，
第15页（共20页）
2007年四川省高考数学试卷(理科)
