X 0 Y 0 1 （2）不放回抽样的情况
1 P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=
或写成
X 10945 ??12116610210 ??12116621010 ??121166211 ??1211660 Y 0 1 1 2. (1)盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。 X 0 Y 0 1 2 0 0 0 0 1 2 3 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
22C2C24C7?1 35?6 35P {X=1, Y=1 }=
112C3C2C24C7P {X=1, Y=2 }=
121C3C2C24C722C3C24C7?6 35P {X=2, Y=0 }=
?3 35?12 35P {X=2, Y=1 }=
211C3C2C24C722C3C24C7P {X=2, Y=2 }=
?3 35P {X=3, Y=0 }=
31C3C24C731C3C24C7?2 352 35P {X=3, Y=1 }=
?P {X=3, Y=2 }=0
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?43. 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}
（2）求P {X<1, Y<3}
（4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=解：（1）∵1???G?0?x?2,???f(x,y)dxdy?f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中Do??(x,y)?
2?y?4??G?Do??????????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?127 (6?x?y)dy?28324?20dx?4?x012(6?x?y)dy? 837. 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为 解：fX(x)?y 0?x?1其它
??????x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?f(x,y)dy??0??0?8. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?y??e,0?x?y求边缘概率密度。 f(x,y)????0,其它.y x=y 解:fX(x)?????????e?ydy?e?x,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,?22??y?1?cxy,xo 9. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??
?0,其它?x （1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=
??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?32145212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272?Y~fY(y)????y4dydx?2y?0?y 0?y?1 其它o y=x2 x 16. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况：
25 365 365 361 36P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=
10945 ??121166105? 126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
P {X=0}·P {Y=0} =
1092105???? 1211111165525 ??6636P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
∴ X和Y不独立
?1y?e2,y?018. 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为fY(y)??2
?0,y?0.?（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
??1,x?(0,1)解：（1）X的概率密度为fX(x)??
??0,其它Y的概率密度为
?1?y?e2,y?0且知X, Y相互独立， fY(y)??2?0,y?0.?于是（X，Y）的联合密度为
（2）由于a有实跟根，从而判别式??4X?4Y?0
2y y=x2 D o 1 x 2 即：Y?X 记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}
223. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为
并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为
Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：
∵
z≥0
∴ 当z<0时，fz (z) = 0
当z>0时，由和的概率公式知
?z3?z?e,∴ fz(z)??6??0z?0z?0
?z3?z?e,（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为fz(z)??6??0 设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：
z?0z?0
z与ξ相互独立
η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0， ∴当u<0， 当u>0时 所以η的概率密度为
fη(u) = 0
29. 设随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y) （3）求函数U=max (X, Y)的分布函数。 解：（1）1???????????f(x,y)dydx???1??00be?(x?y)dydx?b[1?e?1]
∴ b?1
1?e?1 （2）fX(x)??????f(x,y)dy
（3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {max(X,Y)?u)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)=
??uu????f(x,y)dxdy
u<0, FU (u) = 0
30. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为： 设N=min{X1，X2，X3，X 4}
P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}
=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063 36. 设随机变量（X，Y）的分布律为 2X 0 1 2 3 4 5 Y 0 1 2 3 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 （1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X, Y )的分布律 （3）求U = min (X, Y )的分布律 解：（1）由条件概率公式 P{X?2,Y?2}P {X=2|Y=2}=
P{Y?2} = =
同理
0.05
0.01?0.03?0.05?0.05?0.05?0.080.05?0.2 0.251 3P {Y=3|X=0}=
(完整版)概率论与数理统计浙大四版习题精选答案(完全真实)
