?2?3???2?3?? =1???????????2????2??
=1－φ(－0.5) +φ(－2.5)
=1－0.3085+0.0062=0.6977 ?3?3?P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??=1－0.5=0.5
?2?（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得 又
P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )=
1=0.5 2C?3?C?3P (X≤C )=φ??0 ∴ C =3 ???0.5,查表可得2?2?227. 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,12)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求
（1）P (X≤105)，P (100
105?110)??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.6616?0.3384 解:(1)P(X?105)??(1228. 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？
设螺栓长度为X
P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)
=1－P (10.05－0.12 ??(10.05?0.12)?10.05??(10.05?0.12)?10.05???? =1－??????? 0.060.06?????? =1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{0.9772－0.0228} =0.0456 29. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜ X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？ 200?160??120?160????40?????40??0.80 ∵ P (120＜X≤200)=????????????σσ?????σ??σ?又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x) 40???40???0.80 ∴ 上式变为??????1?????σ???σ???40??40??0.9 解出????便得:????σ??σ? 再查表，得 4040?1.281σ??31.25 σ1.28133. 设随机变量X的分布律为： X：－2， －1， 0， 1， 3 P： 1， 5111， ， ， 651511 30求Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2：(－2)2 P： (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2 1 5111 651511 30再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： ∴ Y： 0 P： 1 4 9 1111 ? 5561511 3034. 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=eX的分布密度 ?1∵ X的分布密度为：f(x)???0 又 且 0?x?1 x为其他Y=g (X) =eX是单调增函数 X=h (Y)=lnY，反函数存在 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1 ??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e ?f[h(y)]?|h'(y)|?1?1?∴ Y的分布密度为：ψ(y)??y?0?（2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数 又 且 ?Y21?y?ey为其他 X?h(Y)?e 反函数存在。 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞ yy?1?21?2?e?f[h(y)]?|h'(y)|?1??e∴ Y的分布密度为：ψ(y)??22?0?0?y???y为其他 35. 设X～N（0，1） （1）求Y=eX的概率密度 ∵ X的概率密度是f(x)??1e2πx22,???x??? Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 且 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： （2）求Y=2X2+1的概率密度。 在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) y?1?X?2y?12?? ??? =P????当y<1时：FY ( y)=0 ?当y≥1时：Fy(y)?P????故Y的分布密度ψ( y)是： y?1?X?2y?12??????y?12?y?121e2π?x22dx 当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 ?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????y?12y?1212?y?14ex2?2??dx? ???1 =e2π(y?1) （3）求Y=| X |的概率密度。 ∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0 当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为： 当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 ?y?y?1e2dx 2πx2?当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =????y?y12πx2?e2?y2??2dx??e2 ?π?36. （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ∵ Y=g (X )= X 3 是X单调增函数， 又 且 X=h (Y ) =Y，反函数存在， α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞ 13 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： ψ( y)= f [h ( h )]·| h' ( y)| = f1(y321?)?y3,???y???,但y?0 3（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。 ?e?x法一：∵ X的分布密度为：f(x)???0 Y=x2是非单调函数 当 x<0时 y=x2 ? 反函数是x??y 当 x<0时 y=x2 ? x?x?0 x?0y=x2 y y O x y ∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? －y ?0?1e?? =?2y??0y?12ye?y,y?0y?0 法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y) ?1e??∴ Y～ fY (y) =?2y??037. 设X的概率密度为 求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0 y,,y?0.y?0. 当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =当1 ?arcsiny02xdx?2π?2xdx π?arcsinyπ2πy≤0时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (0 )' = 0 ?0 π?arcsinyπ2?π = 2π1?y2 1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0 38. 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。[已知θ?法一：∵ T的概率密度为f(t)? 又 θ?g(T)? T?h(θ)?12?2e?(t?98.6)22?25(T?32)] 9,???t??? 5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为 法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2） 2?5??333?5?2?5160160?5?故 θ?T?~N??98.6?,???2??N?,???2? 999999???9?????????故θ的概率密度为： 第三章 多维随机变量及其分布 1. 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： 试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )= 或写成 101025 ??1212361025 ??1212362105 ??121236221 ??121236
(完整版)概率论与数理统计浙大四版习题精选答案(完全真实)
