法二：
P(B)?2A22A10?1 45211?? 10945法三：
P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C） 法一：
P(C)?11C8?C22C10?16 45法二：
P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45法三：
P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥 （4）第二次取出的是次品（记为事件D）
法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作， 法二：
P(D)?11A9?A22A10?1 5法三：
P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥 18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。 19. (1)设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）
记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ ∴
B=A1B+A2B且A1，A2互斥
P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)
nN?1mN??? n?mN?M?1n?mN?M?1 =
(2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。
记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，
D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有 P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 21. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ 由已知条件知P(A1)?P(A2)?由贝叶斯公式，有
22. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为
1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2?P；若第一次不及格则第二次及格的概率为
P 2（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。 （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：Ai={他第i次及格}，i=1,2
已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P
2（1）B={至少有一次及格} 所以B?{两次均不及格}?A1A2
∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1)
定义P(A1A2)（2）P(A1A2)
P(A2) （*）
由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2
由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) 将以上两个结果代入（*）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2P P?124. 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2
Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S
（1）P(B1)? A1A2=φ
1101182。 ?????0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解）
2502305110911817?P(B1B2)2504923029??0.4857 （2）P(B2|B1)?2P(B1)5 （先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解） 25. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：
到家时间 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 乘地铁到 0.10 家的概率 乘汽车到 0.30 家的概率 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。 解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有
34.（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，
2 1 4 3 迟于5:54 0.25 0.45 0.15 0.05 0.35 0.20 0.10 0.05 A表示系统正常。
∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥
(加法公式)
∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4)
= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4
(A1, A2, A3, A4独立)
1 L 3 2 R (2) 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点
闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。
记Ai表第i个接点接通
记A表从L到R是构成通路的。
∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)
+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)
+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)
又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。 故
P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]
4
5
+[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5
37. 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。
解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。
（1）记C={至少有一只蓝球}
C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥
由概率有限可加性，得
（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥 （3）P(D|C)?P(CD)P(D)16??P(C)P(C)35(注意到CD?D)
38. 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷
r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？
解：设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有
（条件概率定义与乘法公式）
39. 设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%
（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）
∵ B表取得三件好物品。
B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥
由全概率公式，有 ∴
P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)
=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624
40. 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1- +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）
解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。
再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有
P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α，
P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=
又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发) =α2(1?α 21?α2)， 21?α3) 2同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =α?(于是由全概率公式，得
由Bayes公式，得
P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =
=
P(B1)P(D|B1)
P(D)2αP1
2αP1?(1?α)(P2?P3)第二章 随机变量及其分布
2. (1) 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最
(完整版)概率论与数理统计浙大四版习题精选答案(完全真实)
