当k＝0时，此时与y＝当k>0，x≥0时， 令f(x)＝
3
|x|
只有一个交点，显然不符合题意， x＋2
|x|2
－kx＝0， x＋2
2
即kx＋2kx－x＝0， 即x(kx＋2kx－1)＝0， 即x＝0或kx＋2kx－1＝0，
12
因为Δ＝4k＋4k>0，且－<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x>0时，方程有唯
2
2
k一解．即当x≥0时，方程有两个解．
当k>0，x<0时，f(x)＝3
2
|x|2
－kx＝0， x＋2
即kx＋2kx＋x＝0，kx＋2kx＋1＝0，
此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k－4k>0，解得k>1， 综上所述k>1.
π??tan[（x－1）]，0
2
2
f(f(e))＝________，函数y＝f(x)－1的零点为________．
π??tan[（x－1）]，0 2解析：因为f(x)＝?， ??ln x，x>1所以f(e)＝ln e＝1， f(f(e))＝f(1)＝tan 0＝0， 若0 若x>1，f(x)＝1?ln x＝1?x＝e. 答案：0 e 8．已知函数f(x)＝ 2 ＋a的零点为1，则实数a的值为________． 3＋1 xπ (x－1)]＝1， 2 解析：由已知得f(1)＝0，即1 答案：－ 2 21＋a＝0，解得a＝－. 3＋12 1??2，x≤0， 9．已知函数f(x)＝?则函数 ?|log2x|，x>0，? xg(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为 1 2 ________． x≤0，?x>0，???12 解析：令g(x)＝0，得f(x)＝，所以?x1或?1解得x＝－1或x＝或 222＝|log2x|＝，??22?? ????12 ?x＝2，故函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为－1，，2?. 22???? 答案：?－1， ?? ?? ??2 ，2? 2?? 3 10．(2020·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝|x－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________． 解析：函数f(x)＝|x－4x|＋ax－2恰有2个零点即函数y＝|x－4x|与y＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y＝|x3 3 3 3 －4x|的图象如图，当直线y＝2－ax与曲线y＝－x＋4x，x∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x0，－x0＋4x0)，则切线方程为y－(－x0＋4x0)＝(－3x0＋4)(x－x0)，且经过点(0，2)，代入解得x0＝1， 此时a＝－1，由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a<－1或a>1. 答案：a<－1或a>1 11．设函数f(x)＝ax＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 所以函数f(x)的零点为3和－1. (2)依题意，f(x)＝ax＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)－4×(4a)<0?a－a<0，解得0 [综合题组练] ?e－2（x≤0）? 1．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f(x)＝?，则下列关于函 ?ln x（x>0）? x2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 数y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是( ) A．当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点 B．当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点 C．无论k为何值，均有3个零点 D．无论k为何值，均有4个零点 解析：选C.令f[f(kx)＋1]＋1＝0得， ??f（kx）＋1≤0，??f（kx）＋1>0?f（kx）＋1或?， ?e?ln[f（kx）＋1]＋1＝0－2＋1＝0?? 1解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝； e由f(kx)＋1＝0得， ???kx≤0，?kx>0?kx或?； ?e－2＋1＝0??ln（kx）＝－1? 1即x＝0或kx＝； e1 由f(kx)＋1＝得， e kx≤0，kx>0?????kx1或?1； e－2＋1＝ln（kx）＋1＝?e?e?? 11kx即e＝1＋(无解)或kx＝e－1； ee11 综上所述，x＝0或kx＝或kx＝e－1； ee故无论k为何值，均有3个解，故选C. 2．(2020·宁波市高三教学评估)设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a，b，c∈R且a>0)，则“f?f?－??<0”是“f(x)与f(f(x))都恰有两个零点”的( ) ??2a?? A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2 ?? b?? 解析：选C.由已知a>0，函数f(x)开口向上，f(x)有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x＝－，即f?－?<0，令f(x)＝－，则f(f(x))＝f?－?，因为f?－? 2a2a?2a??2a??2a?<0，所以f(f(x))<0，所以f(f(x))必有两个零点．同理f?f???<0?f?－?<0?x＝－， 2a??2a???2a?因为x＝－是对称轴，a>0，开口向上，f?－?<0，必有两个零点所以C选项正确． 2a?2a? 3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x的不等式x＋|x－a|<2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是________． 解析：不等式为2－x>|x－a|，则0<2－x. 在同一坐标系画出y＝2－x(y≥0，x≥0)和y＝|x|两个函数图象，将绝对值函数y＝|x|向左移动，当右支经过(0，2)点时，a2 2 2 2 b? b? b? b? ? b? ??b?? ? b? bb? b? ＝－2；将绝对值函数y＝|x|向右移动让左支与抛物线y＝2－x(y≥0，x≥0)相切时， ??y－0＝－（x－a）2由?，可得x－x＋a－2＝0， 2 ?y＝2－x? 2 9再由Δ＝0解得a＝. 4 9??数形结合可得，实数a的取值范围是?－2，?. 4??9??答案：?－2，? 4?? ?g（x），f（x）≤g（x），??1?4．已知函数f(x)＝??，g(x)＝log1x，记函数h(x)＝?则 ?2??f（x），f（x）>g（x），? x2 函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________． 解析：由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为 x1＋x2 x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以＝5 2 － x1＋x2 2 ，所以x1＋x2＝5. 答案：5
(浙江专用)高考数学第二章函数概念与基本初等函数8第8讲函数与方程教学案
