高中物理竞赛——静电场习题
一、场强和电场力
【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。
如图7-5所示，在球壳内取一点P ，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS1和ΔS2 ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为
ΔE1 = k??2S1
r1ΔE2 = k??2S2
r2为了弄清ΔE1和ΔE2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然
?S1cos?r12? = ΔΩ = ?S2cos 2r2所以 ΔE1 = k??? ，ΔE2 = k??? ，即：ΔE1 = Δ
cos?cos?
E2 ，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。
同理，其它各个相对的面元ΔS3和ΔS4 、ΔS5和ΔS6 … 激发的合场强均为零。原命题得证。
【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。
【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS ，它在球心O点激发的场强大小为
ΔE = k??2S ，方向由P指向O点。
R无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，ΣEix = ΣEiy = 0 ，最后的ΣE = ΣEz ，所以先求
?ΔEz = ΔEcosθ= k??Scos ，而且ΔScosθ为面2R??元在xoy平面的投影，设为ΔS′
所以 ΣEz = k?ΣΔS′ 2R而 ΣΔS′= πR2
【答案】E = kπσ ，方向垂直边界线所在的平面。
〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？
〖推荐解法〗将半球面看成4个1球面，每个1球面在x、y、z三个方向上
88分量均为1 kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = Σ
4Ex …
〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。
【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，OO?= a ，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。
【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。
将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P ，设OP = r1 ，O?P = r2 ，则大球激发的场强为
4??r13E1 = k32r1 = 4kρπr1 ，方向由O指向P
3“小球”激发的场强为
4??r23E2 = k32r2 = 4kρπr2 ，方向由P指向O′
3E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。
【答案】恒为4kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强电场。
3〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？
〖解说〗上面解法的按部就班应用…
〖答〗4πkρq〔R2?
3b3R?3(b?a)2〕。
二、电势、电量与电场力的功
【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。
【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL ，它在P点形成的电势
ΔU = k
??LR2?r2
环共有2?R段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标
?L量叠加。
【答案】UP =
2?k?RR2?r2
〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？
〖答〗UP =
kQR?r22 ；结论不会改变。
〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？
〖解说〗（1）球心电势的求解从略；
球内任一点的求解参看图7-5
ΔU1 = k??S1= k?·???r1= kσΔΩ
r1r12cos?r1cos?
ΔU2 = kσΔΩ
r2cos?
cos?
它们代数叠加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = kσΔΩr1?r2
而 r1 + r2 = 2Rcosα 所以 ΔU = 2RkσΔΩ
所有面元形成电势的叠加 ΣU = 2RkσΣΔΩ 注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr），但作
为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π ，所以——
ΣU = 4πRkσ= kQ
R（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；
球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反
证。
〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为kQ ；（2）球心电势仍为kQ ，
RR但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。
【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。
【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。
根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…
【答案】Uo = kQ － k
rQR1 + kQ?q 。
R2〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB ，现让A壳接地，而在
B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。
〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。
此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同．．．样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O．．．．．点为对象，有
UO = kq + kQA + kQB = 0
dRARBQB应指B球壳上的净电荷量，故 QB = 0 所以 QA = －RAq
d☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）
基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——
UB = kq + kQA
dRB〖答〗（1）QA = －RAq ；（2）UB = kq(1－RA) 。
ddRB【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB 。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？
【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。
每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U1）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U2）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U1）。
所以，取走ab前 3U1 = UA
2U2 + U1 = UB
取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以
UA′= 2U1
UB′= U1 + U2
【答案】UA′= 2UA ；UB′= 1UA + 1UB 。
362〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且
电势分别为U1 、U2 、U3和U4 ，则盒子中心点O的电势U等于多少？
〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——
我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1 + U2 + U3 + U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为
U′= U1 + U2 + U3 + U4
最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U = 1 U′
4〖答〗U = 1（U1 + U2 + U3 + U4）。
4☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）
〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP ，试求Q点的电势UQ 。
〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。
从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。
而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。
考查P点，UP = k2q + U半球面
R其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 UUQ
以上的两个关系已经足以解题了。
〖答〗UQ = k2q － UP 。
R半球面
= －
【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L ，圆弧OCD是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：
?（1）将单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？
【模型分析】电势叠加和关系WAB = q（UA － UB）= qUAB的基本应用。
UO = kq + k?q = 0
LL?UD = k
q3L + k?q = －2kq
L3L
高中物理竞赛静电场习题
