2020年全国硕士研究生入学统一考试
数学(二)试题详解
一、选择题
1.当x?0时，下列无穷小量中最高阶的是（ ） A.
解析：选D。本题考查了无穷小量的阶的比较、变上限积分的函数的求导方法等。可用求导定阶法来判断。在x?0时，
???x0(e?1)dt B.?ln(1?t)dt C.?0t2x3sinx0sintdt D.?21?cosx0sin3tdt
??????ln(1?t)dt??ln(1?x)x?sintdt??sin?sinx?cosxx??x0x33320sinx220?22(et?1)dt?ex?1x2，说明A是x的3阶无穷小量；
，说明B是x的
25阶无穷小量； 2；说明C是x的3阶无穷小量；
??1?cosx0sintdt?sin(1?cosx)sinx1x?13??3x23x()223xx，说明D是x的5阶无4穷小量。故最高阶的是D. 2.函数f(x)?eln1?x的第二类间断点的个数为（ ）
(ex?1)(x?2)A.1 B.2 C. 3 D.4
解析：选C。本题考查了间断点的概念与分类、极限的计算。间断点有x??1,0,1,2，由于
1x?11x?1eln1?xeln1?x1；lim?f(x)?lim?x??limf(x)?limx??；
x?0x?0(e?1)(x?2)x??1x??1(e?1)(x?2)2elimf(x)?lim??x?1x?1eln1?xeln1?x；limf(x)?lim????， xxx?2x?2(e?1)(x?2)(e?1)(x?2)1x?11x?1故有3个第二类间断点。 3. A.
arcsinx?0x(1?x)dx?( )
1?24 B.
?28 C.
?? D. 48解析：本题选A。本题考查了定积分的计算，主要内容是第二换元积分法。
arcsinxarcsinx?t?t?22?/22?0x(1?x)dx??0sintcost2sintcostdt?t|0?4.
1
24.已知f(x)?xln(1?x),当n?3时，f?n?(0)?( )
A. ?
?n?2?! D.?n?2?! n!n! B. C. ?nnn?2n?222解析：选A。本题考查了函数在0处的高阶导数的计算。根据泰勒公式来求解：
121n?21， x??x)?o(xn)可知xn的系数为?2n?2n?2f(n)(0)1n!???,f(n)(0)??。
n!n?2n?2由f(x)?xln(1?x)?x(?x?
?xy,xy?0,?5.关于f(x,y)??x,y?0,给出下列结论：
?y,x?0,??f（1）
?x(0,0)limlimf(x,y)?0?2f?1；（2）（3）limf(x,y)?0；（4）y?0x?0 ?1；
x,y?0,0?????x?y(0,0)其中正确的个数为（ ） A.4 B. 3 C. 2 D. 1
解析：选B。本题考查了分块函数在分界线上某点处的偏导数求法、二元函数极限与累次极限等计算。需要用到偏导数的定义式。
?ff(x,0)?f(0,0)x?0(1)?lim?lim?1x?0?x(0,0)x?0xx
?xy,xy?0,?f?2ff(0,y)?fx(0,0)?(2)因为f(x,y)??x,y?0,,当xy?0时，?y，?limx?x?x?y?0,0?y?0y?y,x?0,??limy?0y?1??,y不存在.
(0,0)?2f故
?x?yf(x,y)?limxy?0； (3) 当xy?0时，(x,ylim)?(0,0)(x,y)?(0,0)f(x,y)?limx?0； 当y?0时，(x,ylim)?(0,0)(x,y)?(0,0)f(x,y)?limy?0， 当x?0时，(x,ylim)?(0,0)(x,y)?(0,0)f(x,y)?0. 因此点(x,y)沿着任意方向趋近于(0,0)时，函数极限均为0,故?x,ylim???0,0?xy?lim0?0；当y?0时，limlimx?lim0?0；当x?0时，(4)当xy?0时，limlimy?0x?0y?0y?0x?0y?0limlimy?limy?0；故limlimf(x,y)?0.
y?0x?0y?0y?0x?0
6.设f(x)在??2,2?上可导，且f?(x)?f(x)?0，则（ ） A.
解析：本题选B。考查了函数的单调性，辅助函数构造等问题。 由f?(x)?f(x)?0，可知f?(x)?f(x)?0，令y??数C的表达式就能得到辅助函数：F(x)?f(?2)f(0)f(1)f(2)?1 B.?e C.?e2 D.?e3 f(?1)f(?1)f(?1)f(?1)y?0，求其通解，然后写出积分常
f(x)f?(x)?f(x)?，F(x)??0，由导数符号xxee可知函数F(x)在??2,2?单调递增。由F(0)?F(?1)容易推得选B。
*7.四阶矩阵A不可逆，A12?0，?1,?2,?3,?4为矩阵A的列向量组，则AX?0的通
解为（ ）
A. x?k1?1?k2?2?k3?3 B.x?k1?1?k2?2?k3?4 B. x?k1?1?k2?3?k3?4 D.x?k1?2?k2?3?k3?4
解析：选C。本题考查了线性齐次方程组通解的结构、伴随矩阵秩的公式、AA*的公式。
?n,r(A)?n?由于A12?0，故r(A*)?1，再由伴随矩阵秩的公式r(A*)??1,r(A)?n?1，可知
?0,r(A)?n?1?。A*x?0的基础解系由3个解向量构成。又因为A*A?AE?O，r(A*)?1,r(A)?3A的每一列都?1,?2,?3,?4是A*x?0的解向量。只要找到A*x?0的3个无关解就构成
?A11?A12基础解系。抓住A12?0这一条件。由AA*?(?1,?2,?3,?4)??A13??A14????O可知， ???A11?1?A12?2?A13?3?A14?4?0，因为A12?0，因此?2可由?1,?3,?4线性表示，故
?1,?3,?4线性无关。原因是r(A)?r(?1,?2,?3,?4)?3，若?1,?3,?4线性相关，则其中有一个向量可由其余两个线性表示，秩就小于3了，可推出矛盾。因此
?1,?3,?4为基础解系。
8.A为3阶方阵，?1,?2为属于特征值1的线性无关的特征向量，?3为A的属于
?1??的可逆矩阵P为（ ） ?1-1的特征向量，满足P?1AP?????1???A. ??1??3,?2,??3? B.??1??2,?2,??3?
B. ??1??3,??3,?2? D.??1??2,??3,?2?
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