高考数学大二轮复习第二部分专题6函数与导数增分强化练（三
十三）文
增分强化练(三十三)
考点一 导数的运算与导数的几何意义
1．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m＝( ) A．－1 C．1
B．0 D．2
1
解析：f(x)的导数为f′(x)＝m＋，曲线y＝f(x)在点P(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，
x可得m＝－1.故选A. 答案：A
2．(2019·荆州质检)函数f(x)＝xln x在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
解析：∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1， 则f(1)＝0，f′(1)＝1，
故曲线f(x)在点P(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1， 令x＝0，得y＝－1， 令y＝0，得x＝1，
则直线l与两坐标轴的交点为(0，－1)和(1,0)， 11
所围成三角形的面积为×1×1＝.
221
答案： 2
3．(2019·南宁模拟)已知函数f(x)＝
x2
1
＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为中心的中心x＋1
对称图形，g(x)＝e＋ax＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，
g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________.
解析：由f(0)＋f(－2)＝－2，得1＋a－1－1－2＋a－1＝2a－4＝－2， 解得a＝1，所以f(x)＝
1
＋x. x＋1
13
又f′(x)＝－2＋1，所以f′(1)＝. ?x＋1?4
因为g(x)＝e＋x＋bx，g′(x)＝e＋2x＋b，g′(0)＝1＋b， 344
由(1＋b)＝－1，得1＋b＝－，即a＋b＝－. 433
x2
x
4
答案：－
3
考点二 导数与函数的单调性
1．(2019·甘肃静宁模拟)若f(x)＝x－ax＋1在(1,3)上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，3]
3
2
?9?B.?，＋∞? ?2?
D．(0,3)
?9?C.?3，?
?2?
3
2
解析：f(x)＝x－ax＋1在(1,3)上单调递减，则f′(x)＝3x－2ax≤0在x∈(1,3)上恒成立．即3x39
a≥＝x在x∈(1,3)上恒成立，所以a≥.故选B.
2x22答案：B
2．(2019·江西模拟)已知函数f(x)对于任意实数x都有f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝e－sin x，若实数a满足f(log2a) 所以|log2a|＜1，所以－1＜log2a＜1， 1 所以 2 x0 2 2 xxx?1?答案：?，2? ?2? 3．(2019·济宁模拟)已知函数f(x)＝ln x－xe＋ax(a∈R)． (1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若a＝1，求f(x)的最大值． 11xxx解析：(1)由题意知，f′(x)＝－(e＋xe)＋a ＝－(x＋1)e＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立， xxx1x所以a≤(x＋1)e－在[1，＋∞)上恒成立． x11xx令g(x)＝(x＋1)e－，则g′(x)＝(x＋2)e＋2>0， xx所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2e－1， 所以a≤2e－1. (2)当a＝1时，f(x)＝ln x－xe＋x(x>0)． 1?1x?x则f′(x)＝－(x＋1)e＋1＝(x＋1)?－e?， xx?x? 11xx令m(x)＝－e，则m′(x)＝－2－e<0， xx所以m(x)在(0，＋∞)上单调递减． ?1?由于m??>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足 ?2? m(x0)＝0，即ex0＝. x0 当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减． 所以f(x)max＝f(x0)＝ln x0－x0ex0＋x0， 1 因为ex0＝，所以x0＝－ln x0，所以f(x0)＝－x0－1＋x0＝－1， 1 x0 所以f(x)max＝－1. 考点三 导数与函数的极值、最值 ?ππ??32?1．(2019·吉安模拟)函数f(x)＝sinx＋3cosx?x∈?－，??的值域为________． ??32???ππ?3232 解析：由题意，可得f(x)＝sinx＋3cosx＝sinx－3sinx＋3，x∈?－，?， ?32? 令t＝sin x，t∈?－ 2 ??3?3??32 ，1?，即g(t)＝t－3t＋3，t∈?－，1?， 2??2? 则g′(t)＝3t－6t＝3t(t－2)， 当－3 即y＝g(t)在?－又g?－ ??3? ，0?为增函数，在[0,1]为减函数， 2? ? ?3?6－33 ?＝8，g(0)＝3，g(1)＝1， 2? 故函数的值域为：?答案：? ?6－33? ，3?. ?8? ?6－33?，3? ?8? x2 2．(2019·北京西城区模拟)设函数f(x)＝me－x＋3，其中m∈R. (1)当f(x)为偶函数时，求函数h(x)＝xf(x)的极值； (2)若函数f(x)在区间[－2,4]上有两个零点，求m的取值范围． 解析：(1)由函数f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)， 即me－(－x)＋3＝me－x＋3对于任意实数x都成立， 所以m＝0. 此时h(x)＝xf(x)＝－x＋3x，则h′(x)＝－3x＋3. 由h′(x)＝0，解得x＝±1. 当x变化时，h′(x)与h(x)的变化情况如下表所示： 3 2 －x2 x2 x h′(x) h(x) (－∞，－1) － ↘ －1 0 极小值 (－1,1) ＋ ↗ 1 0 极大值 (1，＋∞) － ↘ 所以h(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增. 所以h(x)有极小值h(－1)＝－2，h(x)有极大值h(1)＝2. (2)由f(x)＝me－x＋3＝0，得m＝“直线y＝m与曲线g(x)＝ x2 x2－3 e x. 所以“f(x)在区间[－2,4]上有两个零点”等价于 x2－3 e x，x∈[－2,4]有且只有两个公共点”． 2 －x＋2x＋3 对函数g(x)求导，得g′(x)＝. xe由g′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表所示： x g′(x) g(x) (－2，－1) － ↘ －1 0 极小值 (－1,3) ＋ ↗ 3 0 极大值 (3,4) － ↘ 所以g(x)在(－2，－1)，(3,4)上单调递减，在(－1,3)上单调递增． 6132 又因为g(－2)＝e，g(－1)＝－2e，g(3)＝3 ee 136x－3 所以当－2e eee点． 136 即当－2e ee 2
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