一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y= ，得k=4．
解方程组 ∴OA=OB，
，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称， ∴S△AOP=S△BOP ， ∴S△PAB=2S△AOP ．
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OC?AR+ OC?PS = ×3×4+ ×3×1= ， ∴S△PAB=2S△AOP=15；
（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2． B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，
设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
联立
，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，
联立
∴H（m，0），
，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，
∴M（m﹣4，0），N（m+4，0）， ∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4， ∴MH=NH， ∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（3）解：∠PAQ=∠PBQ． 理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3． 可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
，
解得：
，
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1． 当y=0时， x+ ﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）． 同理可得E（c+4，0），
∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴DT=ET， ∴QT垂直平分DE， ∴QD=QE， ∴∠QDE=∠QED． ∵∠MDA=∠QDE， ∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED， ∴∠PAQ=∠PBQ．
【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP ， 要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c， ），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．
2．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标
是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上． （1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2； （3）求△PAB的面积． 【答案】（1）解：把x=4代入y2= 入y1=
，得k=4．
x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代
反比例函数的表达式为y1=
（2）解：∵点A与点B关于原点对称， ∴A的坐标为（﹣4，﹣1）， 观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2
（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图，
∵点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP ， ∴S△PAB=2S△AOP ． y1=
中，当x=1时，y=4，
∴P（1，4）．
设直线AP的函数关系式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
则
，
解得
．
故直线AP的函数关系式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC = = =
OC?AR+ ×3×4+ ，
OC?PS ×3×1
∴S△PAB=2S△AOP=15．
【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1=
长沙备战中考数学反比例函数的综合题试题
