（1）
2（19）略
（9）1133（20）（I）
（2）B（10）点为(,)三、解答题
C
二、填空题
答案速查：一、选择题
（15）1?a?3e?xsinx（22）（I） a?5；（II）
（3） C
ex?（18）y(x)?arcsin?24（16）y?y(x)的极小值为?927?；（II） ??g48（21）I?a??001???k3?3?k3?0? （II）A??000??100???
C（11）ln1?2（4）
（A）k=1, c =4 （B）k=1,c =?4
【答案】（C）
?d2z''''（17）|x?1?f1'(1,1)?f11(1,1)?f12(1,1)dxdyy?1A
?1数学二试题
（5）
（12）k新东方在线考研 [http://kaoyan.koolearn.com ]网络课堂电子教材系列
2011年全国硕士研究生入学统一考试
（1）已知当x?0时，f?x??3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则 （
（6）B（13）（23）（I） A的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为k1?1?k1?0?，k2?2?k2?0?，
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
111，极大值为1；凸区间为(??,)，凹区间为(,??)，拐333?1?2?1?4?2??3，?2??1?2?2，?3?5?1?10?2?2?3（C）k=3,c =4
712（7）D
（D）k=3,c =?4
（14））
（8）
2D
新东方在线考研 [http://kaoyan.koolearn.com ]网络课堂电子教材系列
【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】★★★【详解】
解析：方法一：当x?0时，sinx:xlim3sinx?sin3x3sinx?sinxcos2x?cosxsin2x?limx?0x?0cxkcxk?limx?0sinx?3?cos2x?2cos2x?cxk3??2cos2x?1??2cos2xcxk?13?cos2x?2cos2x?limx?0cxk?1?limx?04?4cos2x4sin2x?lim?limx?0x?0cxk?1cxk?1?lim4?1?c?4,k?3，故选择（C）.
x?0cxk?3x3方法二：当x?0时，sinx?x??o(x3)3!x3(3x)33f(x)?3sinx?sin3x?3[x??o(x)]?[3x??o(x3)]?4x3?o(x3)3!3!故c?4,k?3，选（C）.
（2）设函数f?x?在x=0处可导，且f?0?=0，则limx?0x2f?x??2f?x3?x3= （ ）
（A） ?2f??0? 【答案】（B）
【考点】导数的概念【难易度】★★【详解】解析：limx?0（B）?f??0? （C） f??0?
（D） 0
x2f?x??2f?x3?x3?f?x??f?0?f?x3??f?0????lim??23x?0xx?????f??0??2f??0???f??0?故应选（B）
（3） 函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为 （ （A） 0
【答案】（C）
（B） 1
）
（D）3
（C） 2
）
?x（5）
?x2方法二：
（A） a(e（C） x(ae2?x分别有特解y?axe【考点】复合函数求导【难易度】★★【详解】
?e??x)
（4） 微分方程y????y?e?be??x)
?x?x2，y?bxe（B） ax(e（D） x(ae2因此原非齐次方程有特解y?x(ae2于是y????y?e，y????y?e??x【答案】（C）
【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★★★【详解】
即g(x)有两个驻点，所以g(x)有两个驻点，
有两个不同的根.所以f(x)有两个驻点.选（C）.
解析：方法一：令g(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，
因为y?lnx函数单调，故lng(x)有两个驻点，选C.
解析：对应齐次微分放的特征方程为r???0，解得r???，
易知g(1)?g(2)?g(3)?0，且g?(x)?0有两个根，图象如图，新东方在线考研 [http://kaoyan.koolearn.com ]网络课堂电子教材系列
3x2?12x?11(x?2)(x?3)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?2)??0令f'(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)(x?2)(x?3)?e??x(??0) 的特解形式为（ ）
?x?x2??x，
?x?e??x)
?be??x)?be??x).选（C）.
设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)?0,g(0)?0,且
f'(0)?g'(0)?0，则函数z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （
所以
?2zC?2?y关系是（
(0,0)2（6） 设I??2z又因为A?2?x【答案】（A）
【考点】多元函数的极值【难易度】★★★【详解】
K?J?I??40?z?f'(x)g(y)?x(0,0)）
(0,0)（A） I?J?K
?f(x)g\y)【答案】（B）
【考点】定积分的基本性质【难易度】★★【详解】
?2zB??f'(x)g'(y)?x?y(0,0)(0,0)又因为f(0)?0，g(0)?0，
解析：如图所示，因为0?x?(0,0)(0,0)??(0,0)40?f\x)g(y)?0，
所以f''(0)?0,g''(0)?0，选（A）.
（C） f''(0)?0,g''(0)?0
（A） f''(0)?0,g''(0)?0
所以必须有B?AC??f??(0)g??(0)f(0)g(0)?0且A?0，
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（B） I?K?J
4?f(0)?g\，
?f'(0)?g'(0)?0，
时，
?z?y(0.0)?f\?g(0)，
?f(x)g'(y)（B） f''(0)?0,g''(0)?0（D） f''(0)?0,g''(0)?00?(0.0)?0，满足.
解析：因为函数z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值，且f(x),g(x)均有二阶连续导数
lnsinxdx，J??lncotxdx，K??4lncosxdx，则I,J,K的大小
（C） J?I?K
π/4（D）
?0?4（8）
（D） P2P1所以A?BP1?2,?3,?4
0?sinx?lnsinxdx?（A）
?1?1?0?4（A） PP12
【答案】（D）
【考点】矩阵的初等变换【难易度】★★【详解】
?1,?3
lncosxdx??1?1?P2?1P?P2P11，故选（D）
【答案】（D）
【考点】★★★
【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系【详解】
*?100??100?????10?，P2??001?,则A= （ ） 得单位矩阵，记P1??1?001??010?????解析：因为(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系
Ax=0的一个基础解系，则Ax?0的基础解系可为 （
解析：由初等矩阵与初等变换的关系知AP1?B，P2B?E，
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2?cosx?cotx，因此lnsinx?lncosx?lncotx2（7） 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行
设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组
T0??4*
（B）?1,?2
?1lncotxdx，故选（B）.
（B） P1P2
）
T（C）
?1,?2,?3
（D）
（C） P2P1
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