章末综合测评(七) 概 率
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a，b，c)称为勾股数．现从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，40，41)，(9，12，15)，(10，24，26)，(15，20，25)，(15，36，39)这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数满足2b＝a＋c的概率为( )
2779A． B． C． D． 59810
A [从这10组勾股数随机抽取1组，共10种抽取方法，其中满足2b＝a＋c的有：(3，42
4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(15，20，25)，共4种，故所求概率为：P＝＝.]
105
2．一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是( )
2121A． B． C． D． 3455
C [由于是有放回摸球，所以第二次摸出1个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独2
立，所以第二次摸出白球的概率为.] 5
3．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为11
“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为( )
26
1112
A． B． C． D． 6323
D [∵“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥， 112∴P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.] 263
4．袋中装白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是( ) 1411A． B． C． D． 5532
B [把白球编号为1，3，5，黑球编号为2，4，6.从中任取2个，样本空间Ω＝{12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56}，样本点总数为15个．其中124
至多有一个黑球的样本点有12个．由古典概型公式得P＝＝.] 155
- 1 -
5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是( )
8111
A． B． C． D． 1581530
C [∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，∴事件总数有15种．∵正确的1
开机密码只有1种，∴P＝.]
15
6．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
2239A． B． C． D． 35510
D [事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的总的样本点的个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概19
率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－＝.]
1010
7．某运动会期间，从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是( )
12314A． B． C． D． 155515
C [用列举法可得样本空间中样本点的总数为15，所求概率的事件包括的样本点的个数93
为9，∴P＝＝.] 155
8．一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到1
红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.则这位家长送
3孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为( )
1245A． B． C． D． 3272727
C [设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A，因为事件A等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红
?1??1?14
灯”，所以事件A的概率为P(A)＝?1－?×?1－?×＝.故选C.]
?3??3?327
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列事件是随机事件的是( )
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y
- 1 -
＝a(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③ B．① C．② D．④
CD [②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．]
10．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的：
①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球．( ) A．① B．② C．③ D．①②③
AB [从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，所有的样本点为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．]
11．下列试验不属于古典概型的是( )
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数； ④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌． A．① B．② C．③ D．④
BCD [古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性，①符合两个特征，是古典概型；②④中的样本点的个数无限多，是几何概型；对于③，出现“两正”“两反”“一正一反”的可能性不相等，故不是古典概型．]
7
12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件不
10可能是( )
A．恰有1件一等品 C．至多有一件一等品
B．至少有一件一等品 D．都不是一等品
xABD [将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，3
恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰
5有2件一等品的概率为P2＝37－＝.] 1010
3
，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝110
- 1 -
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 13．某箱内有十张标有数字0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是 ________．
242 [数字不小于6有6，7，8，9共4个样本点，而样本点的总数为10，故P＝＝.] 510514．一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝________．
1 [事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果， 所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.]
15．《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题如下，已知甲、乙、丙、丁四人向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为________．
1
[依题意，所有的样本点为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，6
甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的事件数有24种，其中满足条件的样本点为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，41
甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为＝.]
246
1
16．如图所示的电路中a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立
2的，则灯泡甲亮的概率为________．
1
[“设a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事8
1
件ABC，且A，B，C之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝，由独立事件概率公式知P(AB2
C)＝P(A)P(B)P(C)＝?1－?××＝.] 三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出人数 2人及以下 3 4 5 6人及以上 ??
1?12?2
1128
- 1 -
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 (1)求有4个人或5个人培训的概率； (2)求至少有3个人培训的概率．
[解] (1)设有2人以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件的概率的加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋
P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
18．(本小题满分12分)用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：
直径(单位：cm) (6.88，6.89] (6.89，6.90] (6.90，6.91] (6.91，6.92] (6.92，6.93] 个数 1 2 10 17 17 直径(单位：cm) (6.93，6.94] (6.94，6.95] (6.95，9.96] (6.96，6.97] (6.97，6.98] 个数 26 15 8 2 2 从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率： (1)事件A：螺母的直径在(6.93，6.95]范围内； (2)事件B：螺母的直径在(6.91，6.95]范围内； (3)事件C：螺母的直径大于6.96.
[解] (1)螺母的直径在(6.93，6.95]范围内的频数为nA＝26＋15＝41， 41
所以事件A的频率为＝0.41.
100
(2)螺母的直径在(6.91，6.95]范围内的频数为nB＝17＋17＋26＋15＝75. 75
所以事件B的频率为＝0.75.
100
(3)螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4， 所以事件C的频率为
4
＝0.04. 100
19．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
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2020_2021学年新教材高中数学章末综合测评7概率含解析北师大版必修第一册
