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解法一：利用力学方程
2
mv22ke2 ke27ke = 2－2 = 2
rr( 2r )4r和基态量子化条件 rmv =
，可以解出半径
2r0 = 4
于是氦原子基态能量
/ 7kem ， （6）
2
2keke49kem
E0 = 2 ( － ) + = － ； （7） 22mr02r016
代入数值算得
49( ke )mc E0 = － ≈ －83.4 eV ， （8） 2
16(c )4 (c)r0 = 22 ≈ 0.0302 nm ．
7kemc所以，氦原子的一级电离能
22
2
2
p20
2224
E+ = E*－E0 ≈ 29.0 eV ． （9）
这仍比实验测得的氦原子一级电离能 24.6 eV 高出 4.4 eV ． 解法二：氦原子能量
2 p2keke7keE = 2 ( － ) + = 2 － 2mr2rmr2r2
2
2
2
可以化成
17kem49kemE = ( － 2 )2 － 2 ． mr416
当上式等号右边第一项为零时，能量最小．由此可知，基态能量与半径
49kem4
E0 =－ ， r= 02 27kem16
24
2224
2分别与（7），（6）两式相同．
2．（I）粒子从下部射向并穿过铅板向上运动，其电荷为正．
（II）如题图所示，粒子的运动速度 v 与磁场方向垂直，洛伦兹力在纸面内；磁力不改变荷电粒子动量的大小，只改变其方向．若不考虑云室中气体对粒子的阻力，荷电粒子在恒定磁场作用下的运动轨迹就是曲率半径为一定值的圆弧；可以写出其运动方程
p△?△p pvqBv =|| = = ， （1）
△t△tr
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其中 q 是粒子电荷，v 是粒子速度的大小，p 是粒子动量的大小，△? 是粒子在△t 时间内转过的角度，r 是轨迹曲率半径．于是有
p = qBr ． （2）
按题意，q =e ．用 pd 和 pu 分别表示粒子射入铅板和自铅板射出时动量的大小，并在式（1）中代入有关数据，可以算得
pd = 63.0 MeV / c ， pu = 22.8 MeV / c ． （3）
注意到当pc
mc2 时应使用狭义相对论，从
p =
mv ． （4） 2
1－( v / c)
c ． （5） 2
1+( mc / p)
中可以得到
v=
用 vd 和 vu 分别表示粒子进入和离开铅板时的速度大小．把式（2）以及 m = 0.511 MeV /
c2 代入式（3），可得
vd ≈ c ， vu ≈ c ． （6）
于是，粒子穿过铅板的平均速度 v= ( 1 / 2 ) ( vd + vu ) ≈c ．用△t 表示粒子穿过铅
板的时间，则有
vcosθ△t = d ． （7）
再用△pdu表示粒子穿过铅板动量改变量的大小，铅板所受到的平均力的大小
f =
△pdupd－pu ( pd－pu ) ccosθ = ≈ ； （8）
△td d / (vcosθ )
代入有关数值得
f ≈1.04 ×10 N ． （9）
（III）一个粒子穿过铅板的时间
△t =
≈≈2.07 ×10vcosθ ccosθ
－9
d
d －11
s = 0.0207 ns ， （10）
比粒子束流的脉冲周期?= 2.50 ns 小得多．铅板在此脉冲粒子束穿过期间所受的力的平均大小
F ≈( pd－pu ) j ； （11）
代入数据得
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F = 0.107 N ． （12）
运用式（4），可把粒子能量写成
E = p2c2 + m2c4 ， （13）
所以粒子穿过铅板前后的能量分别为
Ed = 224
p2c + mc = 63.0 MeV ，Eu = 224
p2c + mc = 22.8 MeV ． （14） du
于是，铅板在脉冲粒子束穿过期间所吸收的热量
Q = ( Ed－Eu ) j? ； 代入数据得
Q = 8.04 ×10－2 J ．
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