习题 2-2
1. 设 A 为任一随机事件 , 且 P( A)= p(0< p<1). 定义随机变量
X
1, A ,
不发生 . 0, A
发生
写出随机变量 X 的分布律 .
解 { =1}= , { =0}=1- p .
P X p P X
或者
X P
0 1 1- p
p
2. 已知随机变量
1 , , , . 试确定常数 c, 2c 4c 8c 16c
357
X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为
并计算条件概率 P{ X
1 | X
0} .
解 由离散型随机变量的分布律的性质知，
1 2c
3 5
7
4c8c 16c
1,
所以 c
37
. 16
1}
所求概率为
{ <1|
P X
X
0
}= P{ X
1 2c
8 25
.
P{ X
0}
1 2c
5 7 8c 16c
3. 设随机变量 X 服从参数为 2, 若p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分
布 ,
P{ X 1}
≥5
9 , 求 P{ Y ≥ 1} .
解
注意 p{x=k}=
Cnk pk qn k , 由题设 5
P{ X ≥ 1}
1 P{ X
0} 1 q2 ,
故 q
1 p
2 3
. 从而
9
P{ Y ≥ 1} 1 P{ Y 0}
4. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率 , 求每次试验成功的概率 .
1 ( 2 )3 19 .
3 27
19
为
27
解
设每次试验成功的概率为
p, 由题意知至少成功一次的概率是
19
27
，那么一次都
没有成功的概率是
8 . 即 27
(1 p)3
且
8 , 27
故
p = 1 .
3
5. 若 X 服从参数为
的泊松分布 ,
P{ X
1} P{ X 3} , 求参数 .
6 . 解 由泊松分布的分布律可知
在袋中同时取 3 只球 , 以 X 表示取出的 3 6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.
只球中的最大号码 , 写出随机变量 X的分布律 . 解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是4，5，在 5 个数中取 3 个共有
C53
10 种取法 .
{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{
=3}= C22
= 1
;
CC53 10
{ 3 个数以 4 为最大值， P{
=4}= 32
3 ;
=4} 表示取出的
10 { 5 为最大值， P{=5}= CC53
42
3 .
=5} 表示取出的 3 个数以
C53
5
X的分布律是
X 3 4
5
1 3
3
P
10
10
5
习题 2-3
1. 设 X 的分布律为
X -1
0
1
P
求分布函数
F x( ),
并计算概率 { <0},
{-2 ≤ <1}.
P XP X{ <2},
PX
0, x 1,
解 (1)
F( x)=0.15, 1≤ x 0,
0.35, 0≤ x 1,
1,
x≥1.
(2) P{ X<0}= P{ X=-1}=; (3) P{ X<2}= P{ X=-1}+ P{ X=0}+P{ X=1}=1; (4) P{-2 ≤ x<1}= P{ X=-1}+ P{ X =0}=. 2. 设随机变量 X 的分布 函数为
( ) = + arctan
F x
A B
x - ∞ < <+x
∞ . 试求 : (1) 常数 A 与 B; (2)
X 落在 (-1, 1] 内的概率 . 解 (1) 由于 (- ∞) = 0, (+ ∞) = 1, 可知
F F
3，
A B(
2
)
0 1
A
1 2
, B
1
.
A B( )
2
于是
(2) P{ 1
arctan x, F ( x) 1
2
X ≤1} F (1) F ( 1)
1 1 1
(
1
x
.
arctan1) (
1
arctan( 1))
2 1 2
2
1 2
1
4
1 (
3. 设随机变量 X 的分布函数为
) 1 . 4 2
0,
x
x 0, 0≤x 1, x≥1,
F( x)=
,
1,
求 P{ X≤ -1}, P{ < X<}, P{0< X≤ 2}.
解
P{ X≤ 1} F ( 1) 0 , P{< X<}= F- F{}- P{ X=}=, P{0< X≤2}= F(2)- F(0)=1.
5. 假设随机变量
X 的绝对值不大于
1;
P{ X
1}
1 8
, P{ X
1}
1 4
; 在事件
{ 1 X 1} 出现的条件下 , X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度
求 X取负值的概率 p.
成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x}; (2)
解 (1) 由条件可知 ,
1
当 x 当 x
当 x
F ( x) 0 ;
1
1 时 , F ( 1) ;
8
1时 , F(1)= P{ X≤ 1}= P( S)=1.
时,
所以
P{ 1
X
1} F (1) F ( 1) P{ X 1}
1
1 8
1 4
5 8
.
易见 , 在 X 的值属于 (
1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X ≤ x | 1
1 X x} 的条件概率为
P{ X 1} k[ x ( 1)] ,
概率论与数理统计习题及答案第二章.docx
