折叠模型
将某一几何图形沿着某直线对折后得到新的几何图形,然后求解这个新的等边三元素之间的数量关系的一类问题,我们称之为图形折叠模型
如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处,你能得出怎 样的结论：_____________________________________
如图，将矩形ABCD沿直线CE折叠，顶点B恰好落在AD边上F点处，你能得出怎 样的结论：_____________________________________
模型应用 一、填空题
1．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处，已知AB＝4cm，AD＝8cm，则AF的长为__________，折痕EF长为__________
2．如图，将矩形ABCD沿直线CE折叠，顶点B恰好落在AD边上F点处，若CD＝8，BE＝5，则FD的长为__________，BC的长为__________
3．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝6，BC＝10，则DE的长为 ． 二．解答题
4．已知：在矩形纸片ABCD中，AB＝10cm，AD＝4cm，点M是AB的中点，点N在DC上，沿MN所在的直线折叠矩形纸片ABCD，点A落在点E处，点D落在F处．
（1）如图1，当点E落在DC上时，连接AN，求证：四边形AMEN是菱形．
（2）在图2中，过点M作直线l⊥AB，交CD于点G，当点E落在直线l上时．
①请画出折叠矩形纸片ABCD后得到的四边形NEFN； ②求MN的长．
1
5．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②．
（1）求证：EG＝CH； （2）已知AF＝2，求AD和AB的长．
6．如图1，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝3cm，AE＝4cm，把四边形BCDE沿DE所在直线折叠，使点B落在AE上的点M处，点C落在点N处，MN交AD于点F． （1）证明：FA＝FM； （2）求四边形DEMF面积； （3）如图2，点P从点D出发，沿D→N→F路径以每秒1cm的速度匀
速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△DPF的面积与四边形DEMF的面积相等． 7．在一次数学活动课中，某同学按以下步骤折纸
第一步，如图①，将矩形ABCD沿AF折叠，使顶点B落在矩形的AD边上，然后把纸片展平，得到四边形ABFE；
第二步，如图②，把四边形ABFE沿GH折叠，使AB与EF重合，得到四边形GHFE，再把纸片展平； 第三步，沿图②的四边形GHFE的对角线HE折叠，并把HE折叠到矩形的BC边上的HM处，如图③所示，得到四边形EHMN
请根据以上的折纸过程解答下列问题：
（1）填空：图①的四边形ABFE的形状是 ； 图③的四边形EHMN的形状是 ； （2）若AB＝2，在图③中求HE+HN的值（结果保留根号）．
2
2
2
答案与解析
1、5， 2、6，10 3、6.8
4、【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形MNFE是由四边形MNDA翻折得到， ∴AM＝ME，∠AMN＝∠NME， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AMN＝∠MNE， ∴∠EMN＝∠ENM， ∴EN＝ME，
∴AM＝EN，AM∥EN，
∴四边形AMENE是平行四边形， ∵MA＝ME，
∴四边形AMEN是菱形．
（2）①折叠矩形纸片ABCD后得到的四边形MEFN如图2所示，
②∵四边形MNFE是由四边形MNDA翻折得到，GM⊥AB， ∴∠AMG＝90°，∠AMN＝∠NMG＝45°， ∵AB∥CD，
3
∴GM⊥CD， ∴∠MGN＝90°，
∴∠GNM＝∠GMN＝45°， ∵∠A＝∠ADG＝∠AMG＝90°， ∴四边形AMGD是矩形， ∴GM＝AD＝4 ∴MN＝
MG＝
AD═4
．
5．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②．
（1）求证：EG＝CH；
（2）已知AF＝2，求AD和AB的长．
【解答】解：（1）证明：由折叠可得：AE＝A'E＝BC＝CH＝GE，∠A＝∠FGE＝∠B＝∠CHE＝90°，∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，
∴∠GEF+∠HEC＝90°，∠GEF+∠GFE＝90°， ∴∠GEF＝∠HCE， ∴在△GEF和△HEC中，∴△GEF≌△HEC， ∴EG＝CH；
（2）∵四边形AEA'D是正方形， ∴∠ADE＝45°，AD＝AE， 又∵AF＝2，
∴FG＝DG＝2，DF＝2∴AD＝2+2
，
， +4．
4
，AB＝2
6．如图1，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝3cm，AE＝4cm，把四边形BCDE沿DE所在直线折叠，使点B落在AE上的点M处，点C落在点N处，MN交AD于点F． （1）证明：FA＝FM； （2）求四边形DEMF面积；
（3）如图2，点P从点D出发，沿D→N→F路径以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△DPF的面积与四边形DEMF的面积相等．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°，
由折叠可知∠NMB＝∠B，且∠NMA+∠NMB＝180°， ∴∠A＝∠NMA， ∴FA＝FM；
（2）解：过点F作FG⊥AM于G，
由（1）可知AG＝GM＝
，
Rt△ADE中，AE＝4cm，DE＝3cm， ∴AD＝5cm，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝5cm， ∴EB＝AB﹣AE＝1cm， ∴EM＝EB＝1cm， ∴AM＝AE﹣EM＝3cm， ∴
cm，
5
折叠模型含答案
