高中数学 1.1.2导数的概念教案 新人教A版选修2-2
教学目标
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在0?t?65这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(2
65)?h(0)， 4965)?h(0)?0(s/m)， 所以v?4965?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际
49h(h 情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
ot 二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t?2时的瞬时速度是多少？考察t?2附近的情况：
思考：当?t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？
结论：当?t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平
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均速度v都趋近于一个确定的值?13.1．
从物理的角度看，时间?t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t?2时的瞬时速度是?13.1m/s 为了表述方便，我们用limh(2??t)?h(2)??13.1
?t?0?t表示“当t?2，?t趋近于0时，平均速度v趋近于定值?13.1”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近
似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
?x?0limf(x0??x)?f(x0)?f ?lim?x?0?x?x''我们称它为函数y?f(x)在x?x0出的导数，记作f(x0)或y|x?x0，即
f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)
?xf(x)?f(x0)
x?x0说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2）?x?x?x0，当?x?0时，x?x0，所以f?(x0)?lim三．典例分析
2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.
2分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx) 再求
?x?0?f?f?6??x再求lim?6
?x?0?x?x解：法一（略）
3x2?3?123(x2?12)?lim?lim3(x?1)?6 法二：y?|x?1?limx?1x?1x?1x?1x?1（2）求函数f(x)=?x?x在x??1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
2?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x 解：?x?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2f?(?1)?lim??lim(3??x)?3
?x?0?x?x?0?x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)?x?7x?15(0?x?8)，计算第2h
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2时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6) 根据导数定义，
''f(2??x)?f(x0)?f ??x?x(2??x)2?7(2??x)?15?(22?7?2?15)???x?3
?x所以f?(2)?lim?f?lim(?x?3)??3
?x?0?x?x?0同理可得:f?(6)?5
在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为?3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．
'注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为s?t?3，求质点在t?3的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x在x?1时的导数．
3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念
六．布置作业
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