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专题3.2 积分与微积分基本定理
【三年高考】
21. 【2015高考湖南，理11】?0(x?1)dx? .
【答案】0. 【解析】
122(x?1)dx?(x?x)0?0. ?0222.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】1.2
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示： y1，因为该抛物线过??10?10?2?2??2?16，设抛物线的方程为x2?2py（p?0）
225222522点?5,2?，所以2p?2?5，解得p?，所以x?y，即y?x，所以当前最大流量是
2254x?5?22?23?5?22403???3?2?xdx?2x?x?2?5??5?2??5???5?，故原始的最大流????????5?????5??25?75?7575??????3原始的最大流量是量与当前最大流量的比值是
16?1.2，所以答案应填：1.2． 40323.【2015高考天津，理11】曲线y?x 与直线y?x 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】
1 6可编辑
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4. 【2014江西高考理第8题】若f(x)?x?2A.?1 B.? C.【答案】B
2?10f(x)dx,则?f(x)dx?（ ）
01131 D.1 35. 【2014山东高考理第6题】 直线y?4x与曲线y?x在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A.22 B.42 C.2 D.4 【答案】D
【解析】由已知得，S?314232(4x?x)dx?(2x?x)|0?4，故选D. ?0426. 【2014陕西高考理第3题】定积分
?10(2x?ex)dx的值为（ ）
Ae.?2 B.e?1 C.e De.?1
【答案】C
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【解析】
?102120(2x?ex)dx?(x2?ex)|1?(1?e)?(0?e)?e，故选C 0【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 定积分属于理科内容，从近几年的高考试题来看，定积分重点考查定积分的应用，利用定积分求值，求面积，题型为选择题或填空题． 【2017年高考复习建议与高考命题预测】
定积分可以看作是导数在某一区间上的逆运算．它是新课标新增加的内容之一，在以前的课本中没有出现定积分的概念，在高考中主要考查定积分的计算和定积分的几何意义，多为容易题，一般每年出一道题,有时和二项式结合出题,因此在2017年复习备考中,只须掌握积分的概念,积分的运算,会用积分求面积,体积即可.
由于在2016年的高考试题中积分没出题,预测2017年高考对定积分考查，可能是利用定积分求值，或与几何概型结合出题，利用定积分来求封闭图形的面积．
【2017年高考考点定位】
高考对定积分的考查主要有定积分的计算和定积分的几何意义,作为新增内容,它是大学微积分的基础,很受出题人的青睐,故在复习时应引起重视． 考点一、求已知函数的定积分 【备考知识梳理】 1、定积分的概念
如果函数f?x?在区间?a,b? 上连续，用分点a?x0?x1?…?xi?1?xi?…?xn?b将区间?a,b? 等分成n个小区间，在每个小区间?xi?1,xi? 上任取一点?i?i?1,2,…，n? ,作和式
?i?1nf??i??x??i?1nb?af??i? ，当n??? 时，上述和式无限接近某个水常数，这个常数叫做函数在区n可编辑
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间上的定积分，记作
?baf?x?dx，即
?baf?x?dx?lim?n??i?1nb?af??i? n2、微积分基本定理
如果f?x?是区间?a,b?上的连续函数，并且F??x??f?x? ，那么叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式. 3、定积分的基本性质 （1）（2）（3）
?f?x?dx?F?b??F?a? ,这个结论
ba?babkf?x?dx=k?f?x?dx,其中k 为常数
ba??ab[f?x??g?x?]dx??f?x?dx??g?x?dx
bbaaaf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx,其中a?c?b
cbac【规律方法技巧】
1.求函数f?x?的定积分，关键是求出函数f?x?的一个原函数F?x?，即满足F??x??f?x?．正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系． 2.计算简单定积分的步骤
(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差； (3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)； (4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值．
3.求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证. 【考点针对训练】
1.【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】?(1?x2?x)dx?（ ）
?11可编辑
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（A）
???? （B） （C） （D）?1 4232【答案】B 【解析】依题意
?1?11?x2dx??xdx??11?2?0??2，其中y?1?x2表示的是单位圆的上半部分.
?6a??2. 【2016届辽宁省锦州市高三下学期质量检测二】已知a??2?cosxdx,则二项式?x2??的展开式中x3?x??2的系数为（ ）
A．20 B．?20 C．160 D．?160 【答案】C
考点二、求分段函数的定积分 【备考知识梳理】 1、分段函数的定积分
(1)分段函数在区间?a,b? 上的定积分可分成几段定积分的和的形式．
(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细． 2、奇函数与偶函数在对称区间上的定积分
若f?x?为偶函数，且在关于原点对称的区间??a,a?上连续,则 若f?x?为奇函数，且在关于原点对称的区间??a,a?上连续,则 【规律方法技巧】
分段函数在区间?a,b?上的定积分可分成几段定积分的和的形式. 分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可．
【考点针对训练】
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??a?aaf?x?dx?2?f?x?dx
a0?af?x?dx?0
高考数学(精讲+精练+精析)专题3_2 积分与微积分基本定理试题 理(含解析)
