《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分
§2 第二型曲面积分
教学目的 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．
(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系． 教学建议
(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．
(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握． 教学程序
曲面的侧 双侧曲面的概念、曲面的侧的概念
背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．
一、第二型曲面积分的概念与性质
定义 设函数P，Q，R与定义在双侧曲面S上的函数．在S所指定的一侧作分割T它把S分成n个小曲面S1,S2?,Sn（i?1,2,?,n），分割T的细度
T?max?Si的直径?1?i?n，以
?Siyz?S?S，izx，ixy分别为Si在三个坐标上的投影区域的
面积，它们的符号由Si的方向来确定．如Si的法线正向与z轴正向成锐角时，Si在xy平面上的投影区域的面积
?Sixy为正，反之，如Si的法线正向与z轴正向成
钝角时，Si在xy平面上的投影区域的面积面Si任取一点??i,?i,?i?，若极限
lim?Sixy为负（i?1,2,?,n）．在每个小曲
T?0?P??,?,???Siiii?1niyzlim+
T?0?Q??,?,???Siiii?1nizxlim+
T?0?R??,?,???Siiii?1nixy
1
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存在且与分割T与点??i,?i,?i?的取法无关，则称此极限为函数P，Q，Rd 曲面S所指定的一侧的第二型曲面积分，记为
??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdyS， (1)
上述积分(1)也可写作
??P?x,y,z?dydz??Q?x,y,z?dzdx??R?x,y,z?dxdyS+
S+
S.
第二型曲面积分的性质
(1)若
??Pdydz?Qdzdx?RdxdyiiiS（i?1,2,?,n）都存在，ci（i?1,2,?,n），
为常数，则有
?n??n??n?cPdydz?cQdzdz?cR????????iiiiii?dxdy????i?1??i?1?S?i?1
=
?c??pdydz?Qdzdx?Rdxdyiiiii?1Sn.
（2）若曲面S由两两无公共内点的曲面块S1,S2…Sn所组成，
??Pdydz?Qdzdx?RdxdySi（i?1,2,?,n）都存在，则
也存在，且
??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdySS??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy=
???Pdydz?Qdzdx?Rdxdyi?1Sin.
二 、第二型曲面积分的计算
定理22.2设R为定义在光滑曲面S：
z?z?x,y??x,y??Dxy，上的连续函
数，以S的上侧为正侧（这时S的法线正向与z轴正向成锐角 ），则有
??R?x,y,z?dxdy??R?x,y,z?x,y??dxdyS=Dxy . （2）
证明 由第二型曲面积分的定义
2
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nn??R?x,y,z?dxdySlim=
T?0?R??,?,???Siiii?1ixy=
lim?R??i,?i,???i,?i???Sixyd?0i?1，
这里
d?max?Sixy?T?，因
?max1?i?n?Si的直径??0，立刻可推得
d?max?Sixy?0，
??由相关函数的连续性及二重积分的定义有
R?x,y,z?x,y??dxdylimR??,?,???,????S???iiiiixyd?0Dxyi?1=，所以
n??R?x,y,z?dxdy??R?x,y,z?x,y??dxdyS=Dxy .
x?x?y,z?类似地, P为定义在光滑曲面S：
?y,z??Dyz上的连续函数时，
而S的法线方向与x轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有
??P?x,y,z?dydz??P?x?y,z?,y,z?dydzS=Dxy .
Q为定义在光滑曲面S：y?y?z,x??z,x??Dzx上的连续函数时，而S的法
线方向与y轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有
??Q?x,y,z?dzdx??Q?x,y,z?x,y??dzdxS=DZX .
注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号
例1 计算球面外侧．
解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为
22S1： z1?1?x2?y2，?x,y??Dxy??x,y?x?y?1,x?0,y?0， 22S2：z2??1?x2?y2，?x,y??Dxy??x,y?x?y?1,x?0,y?0，
??xyzdxdyS222x?y?z?1在x?0,y?0部分并取S，其中是球面
????xyzdxdy??xyzdxdy??xyzdxdyS=
S1+S2
=Dxy2222xy1?x?ydxdy??xy1?x?ydxdy????Dxy
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?2??xy1?x?ydxdy2d?r3cos?sin?1?r2dr?2??15． Dxy00==
2221
例2 计算积分??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?3x)dxdy， ?为球面
?x2?y2?z2?R2取外侧.
解 对积分??(x?y)dydz, 分别用?前和?后记前半球面和后半球面的外
?侧, 则有
?前 : x?R2?y2?z2, Dyz: y2?z2?R2; ?后: x??R2?y2?z2, Dyz: y2?z2?R2. 因此, ??(x?y)dydz=????前+ ???后
?Dyz???R2?y2?z2?ydydz??Dyz????R2?y2?z2?ydydz
?0? ?2y2?z2?R2??R?y?zdydz???????????8?2d??222y?rcos?, z?rsin?R0R2?r2 rdr
?1 ?4???R2?r2?2??322???3?r?Rr?04??R3. 3对积分??(y?z)dzdx, 分别用?右和?左记右半球面和左半球面的外侧, 则
?有
?右: y?R2?z2?x2, Dzx: x2?z2?R2; ?左: y??R2?z2?x2, Dzx: x2?z2?R2.
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因此, ??(y?z)dydz?????右+???左
?Dzx???R2?z2?x2?zdzdx????R2?z2?x2?zdzdx
Dzx??? ?2x2?z2?R2??4R2?z2?x2dzdx??R3.
3对积分??(z?3x)dxdy, 分别用?上和?下记上半球面和下半球面的外侧, 则
?有
?上: z?R2?x2?y2, Dxy: x2?y2?R2; ?下: x??R2?x2?y2, Dxy: x2?y2?R2. 因此, ??(z?3x)dxdy=????上+ ???下
???Dxy?2R2?x2?y2?3xdxdy????R2?x2?y2?3xdxdy
Dxy??? ?2x?y2?R2??4R2?x2?y2dxdy??R3.
34综上, ??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?3x)dxdy=3??R3?4?R3.
?3作业 P289:1;2.
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