高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定学
案（含解析）新人教A版必修2
知识导图
学法指导
1.本节的重难点是直线平行和垂直的判定，注意平行和垂直的条件．
2．判断直线的位置关系时，要注意斜率不存在的情形． 3．当直线的斜率含参数时，要对参数进行分类讨论 高考导航
两条直线平行与垂直的判定是高考考查的重点，一般不单独考查，常与其他知识(直线方程等)综合考查，分值4～6分.
知识点一 两条直线平行
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
前提条件 对应关系 α1＝α2≠90° l1∥l2?k1＝k2 α1＝α2＝90° l1∥l2?两直线斜率都不存在 图示
1. l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
2．当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90 °，则l1∥l2.
知识点二 两条直线垂直
图示 对应 关系
l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②k1≠0且k2≠0.
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1 l1与l2两直线的斜率一个不存在，另一个为0时，则l1与l2的位置关系是垂直 [小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( ) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．[2024·蚌埠市淮上区校级检测]给出下列说法：①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行，其中说法正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，②不正确；显然③正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，④不正确．
答案：A
3．已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为( )
A.3 B．－3 C.
33 D．－ 33
3
. 3
解析：因为l1∥l2，所以kl2＝kl1＝tan30°＝答案：C
4．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________. －11
解析：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k2＝＝－.
k121
答案：－
2
类型一 两条直线的平行关系 3
例1 (1)[2024·衡水检测]直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，
4
l1∥l2，则a的值为( )
107
A．－3 B．1 C. D.
34
?21?N?9，－3?，
(2)已知l1经过点A(－3,3)，B(－8,6)，l2经过点M?－，6?，l1∥l2. ??求证：
?2??2?
【解析】 (1)直线l2的斜率k2＝10
＝. 3
6－33
(2)证明：直线l1的斜率为k1＝＝－，
－8－－356－－33
直线l2的斜率为k2＝＝－，
2195－－223－－34
因为k1＝k2，且kAN＝＝－，
95－3－
2所以l1与l2不重合，所以l1∥l2. 【答案】 (1)C (2)见解析
两直线平行?根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．
3－2113
＝，∵l1∥l2，∴k1＝k2，∴＝，∴aa－1－1a－2a－24
方法归纳
判断两条不重合直线是否平行的步骤
跟踪训练1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,23)，N(－2，－33)． 5－14－7＋34
解析：(1)由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.
－3－258－35因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. －33－23
(2)由题意知k1＝tan60°＝3，k2＝＝3.
－2－3
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
直接结合斜率公式，比较所给直线的斜率关系，确定其位置关系．
类型二 两条直线的垂直关系 例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
3－－471－－34
【解析】 (1)k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．
1－－343－－473－21
(2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
20－1010(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝
40－40
＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
10－－10
直线斜率均存在时，直接计算所给直线的斜率，通过比较它们的斜率之间的关系，确定其位置关系，有一条直线斜率不存在时，可比较两直线的倾斜角大小，确定其位置关系． 方法归纳
使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．
(2)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，要应用斜率公式对参数进行讨论．
总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
跟踪训练2 已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0,7) C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0) 解析：由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．
又kAP＝即
y＋5
2
，kBP＝
y－6
－6
，kAP·kBP＝－1，
y＋5?y－6?·?－?＝－1，解得y＝－6或y＝7.
2
?6?
所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C. 答案：C 若斜率均存在，求出斜率，利用l1⊥l2?k1k2＝－1进行判断，但要注意斜率不存在的特殊情况． 类型三 直线平行与垂直关系的应用,,例3 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
【解析】 设第四个顶点D的坐标为(x，y)， 因为AD⊥CD，AD∥BC， 所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
y－1y－2??x－0·x－3＝－1，所以?y－12－0
??x－0＝3－1，
意，舍去．
??x＝2，
解得?
?y＝3，?
??x＝0，
或?
?y＝1.?
??x＝0，
其中?
?y＝1?
不合题
所以第四个顶点D的坐标为(2,3).
计算kAB，kCD，kBC，kDA，再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可． 方法归纳
利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨
高中数学第三章直线与方程3.1.2两条直线平行与垂直的判定学案(含解析)新人教A版必修2
